(a) Resolva o sistema usando regra de cramer.
(b) Resolva o sistema usando o método das matrizes elementares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! A gente tem um sistema com quatro equações e quatro incógnitas: , , e . Vamos usar duas técnicas: a Regra de Cramer e o método das matrizes elementares. Para isso, precisamos entender determinantes e operações com matrizes.
Passo 2
Parte (a): Usando a Regra de Cramer
Primeiro, a Regra de Cramer nos permite encontrar o valor de cada variável usando determinantes. Para um sistema de equações com incógnitas, cada variável é igual ao determinante da matriz com a coluna da variável substituída pelos termos constantes, dividido pelo determinante da matriz original.
Passo 3
Vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante :
Calcular o determinante de uma matriz 4x4 é trabalhoso, mas vamos usar a regra de Sarrus ou expansão por menores.
Passo 4
Após calcular, encontramos que .
Passo 5
Agora, para encontrar Ax = 6 & 1 & 1 & 1 1 & 7 & -1 & 1 -3 & 3 & -5 & 8 3 & 1 & 1 & 2 , substituímos a coluna de pelos termos constantes e calculamos :
Calculando .
Passo 6
Então, .
Passo 7
Repetindo o processo para Ay = 4 & 6 & 1 & 1 3 & 1 & -1 & 1 7 & -3 & -5 & 8 1 & 3 & 1 & 2 , substituímos a coluna de :
Calculando .
Passo 8
Então, .
Passo 9
Para Az = 4 & 1 & 6 & 1 3 & 7 & 1 & 1 7 & 3 & -3 & 8 1 & 1 & 3 & 2 , substituímos a coluna de :
Calculando .
Passo 10
Assim, .
Passo 11
Finalmente, para Aw = 4 & 1 & 1 & 6 3 & 7 & -1 & 1 7 & 3 & -5 & -3 1 & 1 & 1 & 3 , substituímos a coluna de :
Calculando .
Passo 12
Portanto, .
Passo 13
Parte (b): Usando o Método das Matrizes Elementares
Agora, vamos resolver o mesmo sistema usando matrizes elementares, que envolve transformar a matriz aumentada do sistema em uma forma mais simples para encontrar as soluções.
Passo 14
Primeiro, escrevemos a matriz aumentada do sistema:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma matriz triangular superior usando operações de linha: multiplicar uma linha por uma constante, trocar linhas ou adicionar múltiplos de uma linha a outra.
Passo 16
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1. Podemos dividir a primeira linha por 4:
Agora, eliminamos os elementos abaixo do primeiro 1. Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda, 7 vezes a primeira da terceira e 1 vez a primeira da quarta: