Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem três matrizes, chamadas A, B e C, e precisa encontrar matrizes elementares e que, quando multiplicadas pelas matrizes dadas, transformam uma na outra conforme o enunciado. O conteúdo aqui envolve operações elementares de linha em matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essas operações e identificar qual matriz elementar faz a transformação desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz elementar. Ela é uma matriz obtida a partir da matriz identidade realizando uma única operação elementar de linha, como trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero ou adicionar múltiplos de uma linha a outra. Multiplicar uma matriz por uma matriz elementar corresponde a aplicar essa operação na matriz original.
Passo 3
Vamos começar com a parte (a): encontrar A = 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 8 & 1 & 5 B = 8 & 1 & 5 2 & -7 & -1 3 & 4 & 1 tal que .
Observando as matrizes A e B:
Percebe-se que as primeiras e terceiras linhas foram trocadas. Ou seja, para transformar A em B, precisamos trocar a linha 1 com a linha 3.
Passo 4
Para realizar essa troca, a matriz elementar E1 = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 que troca a linha 1 com a linha 3 da matriz identidade é:
E1 cdot A = B
Essa matriz, quando multiplicada pela matriz A, troca as linhas conforme necessário:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): encontrar E2 = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 tal que E2 cdot B = A .
Seguindo a mesma lógica, como trocou as linhas de A para B, para voltar de B para A, basta trocar novamente as mesmas linhas. Portanto, será a mesma matriz que :
Vemos que apenas a terceira linha mudou. Na matriz A, a terceira linha é [8, 1, 5], e em C, passou a ser [2, -7, 3]. Para isso, vamos substituir a terceira linha da matriz A por uma combinação linear das linhas existentes.
Passo 7
Para transformar a terceira linha de A em C, observamos que:
Nova linha 3 = Linha 3 original - 2 times Linha 1
Isso dá:
8 - 2 times 3 = 2 1 - 2 times 4 = -7 5 - 2 times 1 = 3
Portanto, a operação é linha 3 = linha 3 - 2 × linha 1.
Passo 8
A matriz elementar E3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 que realiza essa operação é:
E3 cdot A = C
Multiplicando pela matriz A, obtemos a matriz C:
Passo 9
Finalmente, na parte (d): encontrar C = 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 2 & -7 & 3 A = 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 8 & 1 & 5 tal que .
Analisando as matrizes C e A:
Novamente, apenas a terceira linha muda. Para voltar de C para A, precisamos adicionar 2 vezes a primeira linha �� terceira linha.
Passo 10
A operação necessária é:
Linha 3 = Linha 3 + 2 times Linha 1
Isso resulta em:
2 + 2 times 3 = 8 -7 + 2 times 4 = 1 3 + 2 times 1 = 5
Passo 11
A matriz elementar E4 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & 0 & 1 que realiza essa operação é:
E4 cdot C = A
Assim, multiplicando pela matriz C, obtemos a matriz A: