Considere as matrizes:
A=(ccc 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 8 & 1 & 5 ) B=(ccc 8 & 1 & 5 2 & -7 & -1 3 & 4 & 1 ) C=(ccc 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 2 & -7 & 3 )
Encontre matrizes elementares E1, E2, E3 e E4 tais que:
(a) E1 A=B
(b) E2 B=A
© E3 A=C
(d) E4 C=A

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem três matrizes, chamadas A, B e C, e precisa encontrar matrizes elementares e que, quando multiplicadas pelas matrizes dadas, transformam uma na outra conforme o enunciado. O conteúdo aqui envolve operações elementares de linha em matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essas operações e identificar qual matriz elementar faz a transformação desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz elementar. Ela é uma matriz obtida a partir da matriz identidade realizando uma única operação elementar de linha, como trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero ou adicionar múltiplos de uma linha a outra. Multiplicar uma matriz por uma matriz elementar corresponde a aplicar essa operação na matriz original.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a): encontrar A = 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 8 & 1 & 5 B = 8 & 1 & 5 2 & -7 & -1 3 & 4 & 1 tal que .
Observando as matrizes A e B:
Percebe-se que as primeiras e terceiras linhas foram trocadas. Ou seja, para transformar A em B, precisamos trocar a linha 1 com a linha 3.

Passo 4

Para realizar essa troca, a matriz elementar E1 = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 que troca a linha 1 com a linha 3 da matriz identidade é:
E1 cdot A = B
Essa matriz, quando multiplicada pela matriz A, troca as linhas conforme necessário:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): encontrar E2 = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 tal que E2 cdot B = A .
Seguindo a mesma lógica, como trocou as linhas de A para B, para voltar de B para A, basta trocar novamente as mesmas linhas. Portanto, será a mesma matriz que :
Isso garante que:

Passo 6

Vamos para a parte ©: encontrar A = 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 8 & 1 & 5 C = 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 2 & -7 & 3 tal que .
Analisando as matrizes A e C:
Vemos que apenas a terceira linha mudou. Na matriz A, a terceira linha é [8, 1, 5], e em C, passou a ser [2, -7, 3]. Para isso, vamos substituir a terceira linha da matriz A por uma combinação linear das linhas existentes.

Passo 7

Para transformar a terceira linha de A em C, observamos que:
Nova linha 3 = Linha 3 original - 2 times Linha 1
Isso dá:
8 - 2 times 3 = 2 1 - 2 times 4 = -7 5 - 2 times 1 = 3
Portanto, a operação é linha 3 = linha 3 - 2 × linha 1.

Passo 8

A matriz elementar E3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 que realiza essa operação é:
E3 cdot A = C
Multiplicando pela matriz A, obtemos a matriz C:

Passo 9

Finalmente, na parte (d): encontrar C = 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 2 & -7 & 3 A = 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 8 & 1 & 5 tal que .
Analisando as matrizes C e A:
Novamente, apenas a terceira linha muda. Para voltar de C para A, precisamos adicionar 2 vezes a primeira linha �� terceira linha.

Passo 10

A operação necessária é:
Linha 3 = Linha 3 + 2 times Linha 1
Isso resulta em:
2 + 2 times 3 = 8 -7 + 2 times 4 = 1 3 + 2 times 1 = 5

Passo 11

A matriz elementar E4 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & 0 & 1 que realiza essa operação é:
E4 cdot C = A
Assim, multiplicando pela matriz C, obtemos a matriz A:

Resposta

As matrizes elementares são:
E1 = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 , E2 = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0
E3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 , E4 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & 0 & 1

Exercícios relacionados

Para cada uma das matrizes abaixo encontre a matriz LRFE B equivalente, e determine matrizes elementares E1, E2, ldots, Ek tais que E1 E2 cdots Ek A=B :
A=(ccc 1 & 4 & 1 2 & 0 & 10 8 & 1 & 5 ) A=(ccc 8 & 1 & 6 2 & -7 & 3 1 & 4 & 1 ) A=(ccc 2 & 3 & 1 2 & 1 & -1 2 & -7 & 2 )
Encontre condições sobre as constantes bj (a) l6 x1-4 x2=b1 3 x1-2 x2=b2
(b) cllx1-2 x2+5 x3 & =b1 4 x1-5 x2+8 x3 & = & b2 -3 x1+3 x2-3 x3 & = & b3
© cccx1-2 x2-x3 & = & b1 -4 x1+5 x2+2 x3 & = & b2 -4 x1+7 x2+4 x3 & = & b2
(d) cccx1-x2+3 x3+2 x1 & =b1 -2 x1+x2+5 x3+x1 & =b2 -3 x1+2 x2+2 x3-x1 & =b3 4 x1-3 x2+x3+3 x1 & =b4
Considere o sistema
llc 4 x+y+z+w & = & 6 3 x+7 y-z+w & = & 1 7 x+3 y-5 z+8 w & = & -3 x+y+z+2 w & = & 3
(a) Resolva o sistema usando regra de cramer.
(b) Resolva o sistema usando o método das matrizes elementares.
Em cada caso, determine a transformada de Laplace
F(p)=Lf(x)(p):=integral0^infty e^-p x f(x) d x
d) f(x)=x^2