Dada F(p)=Lf(x), obtenha f(x). Mostre os detalhes do que fizer. ( L, n, k, a, b são constantes.)
j) 1(p+a)(p+b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função no domínio de , que é , e queremos descobrir qual é a função no domínio do tempo, chamada , que gera essa através da Transformada de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais e conhecer a Transformada Inversa de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar usando frações parciais. Isso significa que queremos escrever como a soma de duas frações mais simples, do tipo , onde e são constantes que vamos descobrir.

Passo 3

Para achar 1(p+a)(p+b) = Ap+a + Bp+b e 1 = A(p+b) + B(p+a) , vamos igualar as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, ficamos com:

Passo 4

Agora, vamos resolver para 1 = A(-a + b) + B(-a + a) Rightarrow 1 = A(b - a) + 0 Rightarrow A = 1b - a e 1 = A(-b + b) + B(-b + a) Rightarrow 1 = 0 + B(a - b) Rightarrow B = 1a - b = -1b - a . Podemos fazer isso escolhendo valores específicos para que simplificam a equação.
Primeiro, escolha :
Depois, escolha :

Passo 5

Com os valores de F(p) = 1b - a cdot 1p + a - 1b - a cdot 1p + b e encontrados, podemos reescrever :

Passo 6

Agora, vamos usar a Transformada Inversa de Laplace. Sabemos que:
L^-11p + c = e^-c x
Aplicando isso a cada termo de L^-11p + a = e^-a x e L^-11p + b = e^-b x :

Passo 7

Então, aplicando a Transformada Inversa de Laplace a f(x) = 1b - a e^-a x - 1b - a e^-b x = e^-a x - e^-b xb - a :

Resposta

A função no domínio do tempo é:
f(x) = e^-a x - e^-b xb - a

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