Em cada caso, determine a transformada de Laplace
b)

Passo 1

Vamos resolver a transformada de Laplace para a função . A matéria envolvida aqui é a transformada de Laplace, que é uma ferramenta usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades básicas de exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição da transformada de Laplace:
No nosso caso, . Então, substituindo na fórmula, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando as duas exponenciais:
Então, a integral fica:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos lembrar da integral de uma exponencial:
Aplicando isso à nossa integral:

Passo 5

Agora, precisamos avaliar os limites da integral. Observamos que:
  • Quando , se , então tende a 0.
  • Quando , .
Portanto:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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b) Utilizando a equação linear encontrada em a), mostre que outra solução geral para esta equação pode ser dada por e .
Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas abaixo.
Os vetores e são os autovetores de um operador linear , associados à e , respectivamente. Determine uma fórmula para .
Considere o sistema de equações
O que você pode dizer sobre a posição relativa das retas e , quando
© o sistema tem infinitas soluções?