Em cada caso, determine a transformada de Laplace
F(p)=Lf(x)(p):=integral0^infty e^-p x f(x) d x
b) f(x)=e^a x

Passo 1

Vamos resolver a transformada de Laplace para a função . A matéria envolvida aqui é a transformada de Laplace, que é uma ferramenta usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades básicas de exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição da transformada de Laplace:
F(p) = Lf(x)(p) = integral0^infty e^-p x f(x) , dx
No nosso caso, F(p) = integral0^infty e^-p x cdot e^a x , dx . Então, substituindo na fórmula, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando as duas exponenciais:
e^-p x cdot e^a x = e^(a - p) x
Então, a integral fica:
F(p) = integral0^infty e^(a - p) x , dx

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos lembrar da integral de uma exponencial:
integral e^k x , dx = 1k e^k x + C
Aplicando isso à nossa integral:
F(p) = 1a - p e^(a - p) x |0^infty

Passo 5

Agora, precisamos avaliar os limites da integral. Observamos que:
  • Quando F(p) = 0 - 1a - p = 1p - a , se , então tende a 0.
  • Quando , .
Portanto:

Resposta

A transformada de Laplace de F(p) = 1p - a é:

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