Considere o sistema de equações
O que você pode dizer sobre a posição relativa das retas
e
, quando
© o sistema tem infinitas soluções?
© o sistema tem infinitas soluções?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares com duas incógnitas,
e
. A pergunta é: o que acontece com a posição relativa das retas representadas por essas equações quando o sistema tem infinitas soluções? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre sistemas lineares, soluções de sistemas e como as retas se comportam no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que cada equação do sistema representa uma reta no plano. Por exemplo, uma equação do tipo
descreve uma reta. As soluções do sistema de equações são os pontos onde essas retas se cruzam.
Passo 3
Normalmente, com duas equações lineares, temos duas retas. Essas retas podem se intersectar em um único ponto (sistema determinado) ou serem paralelas sem nenhum ponto em comum (sistema impossível). Mas aqui temos três equações, ou seja, três retas.
Passo 4
Para que o sistema tenha infinitas soluções, todas as três equações devem representar a mesma reta. Isso porque se duas retas coincidem, elas têm infinitos pontos em comum. Se a terceira reta também coincidir com as duas anteriores, então todas as três retas estarão uma sobre a outra, compartilhando todos os pontos dessa reta.
Passo 5
Então, se o sistema tem infinitas soluções, isso significa que as três retas
,
e
coincidem. Em outras palavras, todas as três retas são exatamente a mesma reta no plano.
Resposta
As três retas coincidem, ou seja, estão sobrepostas formando a mesma reta.
Exercícios relacionados
Os vetores
e
são os autovetores de um operador linear
, associados à
e
, respectivamente. Determine uma fórmula para
.
Em cada caso, determine a transformada de Laplace
b)
Em cada parte, determine se a matriz está em forma escalonada, escalonada reduzida por linhas, ambas ou nenhuma das duas.
(d)
(d)