a) Encontre uma equação linear nas variáveis e que tem e como solução geral.
b) Utilizando a equação linear encontrada em a), mostre que outra solução geral para esta equação pode ser dada por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão a) pede para encontrarmos uma equação linear com as variáveis e que tenha as expressões e como solução geral. Isso envolve entender como relacionar e numa equação do tipo usando essas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma equação linear em duas variáveis tem a forma geral , onde , e são constantes. Nossa missão é descobrir esses coeficientes de modo que, quando substituirmos e , a equação seja satisfeita para qualquer valor de .

Passo 3

Vamos substituir e na equação geral. Isso significa que teremos:
Simplificando isso, ficamos com:
Agora, juntamos os termos com :

Passo 4

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de , os coeficientes de e o termo independente devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e .

Passo 5

Da primeira equação, , podemos isolar :
Da segunda equação, , isolamos :
Agora, podemos escolher um valor para que facilite. Vamos escolher (qualquer valor diferente de zero serviria).

Passo 6

Com , temos:
Então, os coeficientes são , e .

Passo 7

Substituindo esses valores na equação geral, a equação linear que estamos procurando é:
Ou simplificando:

Passo 8

Agora, na parte b), precisamos mostrar que outra solução geral para essa equação é dada por e . Ou seja, queremos verificar se, ao substituir essas expressões na equação , a igualdade se mantém para todo .

Passo 9

Vamos substituir e na equação:

Passo 10

Primeiro, distribuímos o dentro do parêntese:

Passo 11

Simplificando:
Isso significa que a equação é satisfeita para qualquer valor de , confirmando que e é realmente uma solução geral da equação encontrada na parte a).

Resposta

A dupla também é solução geral da equação .

Exercícios relacionados

Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas abaixo.
Dados os vetores e , calcular:
Em cada caso, determine a transformada de Laplace
b)
Os vetores e são os autovetores de um operador linear , associados à e , respectivamente. Determine uma fórmula para .