a) Encontre uma equação linear nas variáveis x e y que tem x=5+2 t e y=t como solução geral.
b) Utilizando a equação linear encontrada em a), mostre que outra solução geral para esta equação pode ser dada por x=t e y=t2-52.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão a) pede para encontrarmos uma equação linear com as variáveis x e y que tenha as expressões x = 5 + 2t e y = t como solução geral. Isso envolve entender como relacionar x e y numa equação do tipo ax + by + c = 0 usando essas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma equação linear em duas variáveis tem a forma geral ax + by + c = 0, onde a, b e c são constantes. Nossa missão é descobrir esses coeficientes de modo que, quando substituirmos x = 5 + 2t e y = t, a equação seja satisfeita para qualquer valor de t.

Passo 3

Vamos substituir x e y na equação geral. Isso significa que teremos:
a(5 + 2t) + b(t) + c = 0
Simplificando isso, ficamos com:
5a + 2at + bt + c = 0
Agora, juntamos os termos com t:
(2a + b)t + (5a + c) = 0

Passo 4

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de t, os coeficientes de t e o termo independente devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
2a + b = 0 5a + c = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar a, b e c.

Passo 5

Da primeira equação, 2a + b = 0, podemos isolar b:
b = -2a
Da segunda equação, 5a + c = 0, isolamos c:
c = -5a
Agora, podemos escolher um valor para a que facilite. Vamos escolher a = 1 (qualquer valor diferente de zero serviria).

Passo 6

Com a = 1, temos:
b = -2(1) = -2 c = -5(1) = -5
Então, os coeficientes são a = 1, b = -2 e c = -5.

Passo 7

Substituindo esses valores na equação geral, a equação linear que estamos procurando é:
1 cdot x - 2 cdot y - 5 = 0
Ou simplificando:
x - 2y - 5 = 0

Passo 8

Agora, na parte b), precisamos mostrar que outra solução geral para essa equação é dada por x = t e y = t2 - 52. Ou seja, queremos verificar se, ao substituir essas expressões na equação x - 2y - 5 = 0, a igualdade se mantém para todo t.

Passo 9

Vamos substituir x = t e y = t2 - 52 na equação:
t - 2(t2 - 52) - 5 = 0

Passo 10

Primeiro, distribuímos o -2 dentro do parêntese:
t - t + 5 - 5 = 0

Passo 11

Simplificando:
0 = 0
Isso significa que a equação é satisfeita para qualquer valor de t, confirmando que x = t e y = t2 - 52 é realmente uma solução geral da equação encontrada na parte a).

Resposta

A dupla (x, y) = (t, t2 - 52) também é solução geral da equação x - 2y - 5 = 0.

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