a) Encontre uma equação linear nas variáveis
e
que tem
e
como solução geral.
b) Utilizando a equação linear encontrada em a), mostre que outra solução geral para esta equação pode ser dada por
e
.
b) Utilizando a equação linear encontrada em a), mostre que outra solução geral para esta equação pode ser dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão a) pede para encontrarmos uma equação linear com as variáveis
e
que tenha as expressões
e
como solução geral. Isso envolve entender como relacionar
e
numa equação do tipo
usando essas expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma equação linear em duas variáveis tem a forma geral
, onde
,
e
são constantes. Nossa missão é descobrir esses coeficientes de modo que, quando substituirmos
e
, a equação seja satisfeita para qualquer valor de
.
Passo 3
Vamos substituir
e
na equação geral. Isso significa que teremos:
Simplificando isso, ficamos com:
Agora, juntamos os termos com
:
Passo 4
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de
, os coeficientes de
e o termo independente devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
,
e
.
Passo 5
Da primeira equação,
, podemos isolar
:
Da segunda equação,
, isolamos
:
Agora, podemos escolher um valor para
que facilite. Vamos escolher
(qualquer valor diferente de zero serviria).
Passo 6
Com
, temos:
Então, os coeficientes são
,
e
.
Passo 7
Substituindo esses valores na equação geral, a equação linear que estamos procurando é:
Ou simplificando:
Passo 8
Agora, na parte b), precisamos mostrar que outra solução geral para essa equação é dada por
e
. Ou seja, queremos verificar se, ao substituir essas expressões na equação
, a igualdade se mantém para todo
.
Passo 9
Vamos substituir
e
na equação:
Passo 10
Primeiro, distribuímos o
dentro do parêntese:
Passo 11
Simplificando:
Isso significa que a equação é satisfeita para qualquer valor de
, confirmando que
e
é realmente uma solução geral da equação encontrada na parte a).
Resposta
A dupla
também é solução geral da equação
.