Os vetores
e
são os autovetores de um operador linear
, associados à
e
, respectivamente. Determine uma fórmula para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vetores que são autovetores de um operador linear
no espaço
. Isso está dentro da matéria de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e autovalores (eigenvalores).
Para resolver, vamos precisar entender:
- O que são autovetores e autovalores.
- Como expressar uma transformação linear usando esses autovetores e autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um autovetor e um autovalor. Se
é um autovetor de
com autovalor
, então:
Isso significa que, quando aplicamos a transformação
a
, o resultado é o vetor
escalado por
.
Passo 3
Temos dois autovetores dados:
Como
é um operador linear e
e
são autovetores distintos, podemos expressar qualquer vetor
como uma combinação linear de
e
.
Passo 4
Vamos escrever
como:
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
em termos de
e
.
Passo 5
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Agora, substituindo
de volta na expressão para
:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos aplicar a transformação
usando os autovalores:
Substituindo os valores:
Passo 7
Substituindo
e
:
Vamos distribuir os termos:
Passo 8
Simplificando cada componente:
Primeira componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Resposta
A fórmula para
é:
Exercícios relacionados
Em cada caso, determine a transformada de Laplace
b)
a) Encontre uma equação linear nas variáveis
e
que tem
e
como solução geral.
b) Utilizando a equação linear encontrada em a), mostre que outra solução geral para esta equação pode ser dada por e
.
b) Utilizando a equação linear encontrada em a), mostre que outra solução geral para esta equação pode ser dada por
Considere o sistema de equações
O que você pode dizer sobre a posição relativa das retas
e
, quando
© o sistema tem infinitas soluções?
© o sistema tem infinitas soluções?