Os vetores e são os autovetores de um operador linear , associados à e , respectivamente. Determine uma fórmula para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vetores que são autovetores de um operador linear no espaço . Isso está dentro da matéria de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e autovalores (eigenvalores).
Para resolver, vamos precisar entender:
  • O que são autovetores e autovalores.
  • Como expressar uma transformação linear usando esses autovetores e autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovetor e um autovalor. Se é um autovetor de com autovalor , então:
Isso significa que, quando aplicamos a transformação a , o resultado é o vetor escalado por .

Passo 3

Temos dois autovetores dados:
Como é um operador linear e e são autovetores distintos, podemos expressar qualquer vetor como uma combinação linear de e .

Passo 4

Vamos escrever como:
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e em termos de e .

Passo 5

Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Agora, substituindo de volta na expressão para :

Passo 6

Agora que temos e , podemos aplicar a transformação usando os autovalores:
Substituindo os valores:

Passo 7

Substituindo e :
Vamos distribuir os termos:

Passo 8

Simplificando cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:

Resposta

A fórmula para é:

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Em cada caso, determine a transformada de Laplace
b)
a) Encontre uma equação linear nas variáveis e que tem e como solução geral.
b) Utilizando a equação linear encontrada em a), mostre que outra solução geral para esta equação pode ser dada por e .
Considere o sistema de equações
O que você pode dizer sobre a posição relativa das retas e , quando
© o sistema tem infinitas soluções?