Os vetores v1=(1,1) e v2=(2,-1) são os autovetores de um operador linear T: R^2 R^2, associados à lambda1=5 e lambda2=-1, respectivamente. Determine uma fórmula para T(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vetores que são autovetores de um operador linear no espaço . Isso está dentro da matéria de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e autovalores (eigenvalores).
Para resolver, vamos precisar entender:
  • O que são autovetores e autovalores.
  • Como expressar uma transformação linear usando esses autovetores e autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovetor e um autovalor. Se T(v) = lambda v é um autovetor de com autovalor , então:
Isso significa que, quando aplicamos a transformação a , o resultado é o vetor escalado por .

Passo 3

Temos dois autovetores dados:
v1 = (1, 1) com lambda1 = 5
v2 = (2, -1) com lambda2 = -1
Como é um operador linear e e são autovetores distintos, podemos expressar qualquer vetor como uma combinação linear de e .

Passo 4

Vamos escrever (x, y) = a cdot v1 + b cdot v2 = a(1, 1) + b(2, -1) como:
x = a + 2b
Isso nos dá o sistema de equações:
y = a - b
Vamos resolver esse sistema para encontrar e em termos de e .

Passo 5

Da segunda equação:
a = y + b
Substituindo na primeira equação:
x = (y + b) + 2b = y + 3b
Então:
3b = x - y Rightarrow b = x - y3
Agora, substituindo a = y + x - y3 = 3y + x - y3 = x + 2y3 de volta na expressão para :

Passo 6

Agora que temos T(x, y) = T(a cdot v1 + b cdot v2) = a cdot T(v1) + b cdot T(v2) = a lambda1 v1 + b lambda2 v2 e T(x, y) = a cdot 5(1, 1) + b cdot (-1)(2, -1) = 5a(1,1) - b(2,-1) , podemos aplicar a transformação usando os autovalores:
Substituindo os valores:

Passo 7

Substituindo T(x, y) = 5 cdot x + 2y3(1,1) - x - y3(2,-1) e = (5(x + 2y)3, 5(x + 2y)3) - (2(x - y)3, -(x - y)3) :
= (5x + 10y3 - 2x - 2y3, 5x + 10y3 + x - y3)
Vamos distribuir os termos:

Passo 8

Simplificando cada componente:
Primeira componente:
5x + 10y - 2x + 2y3 = 3x + 12y3 = x + 4y
Segunda componente:
5x + 10y + x - y3 = 6x + 9y3 = 2x + 3y

Resposta

A fórmula para T(x, y) = (x + 4y, 2x + 3y) é:

Exercícios relacionados