Em cada caso, determine a transformada de Laplace
F(p)=Lf(x)(p):=integral0^infty e^-p x f(x) d x
c) f(x)=x

Passo 1

Vamos resolver a transformada de Laplace para a função F(p) = Lf(x)(p) = integral0^infty e^-p x f(x) dx . A transformada de Laplace é um conceito da matéria de Equações Diferenciais que nos ajuda a transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para isso, vamos precisar calcular a integral definida:

Passo 2

Primeiro, substituímos F(p) = integral0^infty e^-p x x , dx por na integral:
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar .

Passo 3

Para resolver a integral integral u , dv = u , v - integral v , du , usaremos a técnica de integração por partes. A integração por partes é uma técnica que nos ajuda a integrar produtos de funções e é dada pela fórmula:
Vamos identificar e na nossa integral.

Passo 4

Escolhemos:

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral0^infty e^-p x x , dx = -1p x e^-p x |0^infty + 1p integral0^infty e^-p x dx
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 6

Primeiro, calculamos :
  • Quando , tende a 0, então o termo todo tende a 0.
  • Quando , temos .
    Portanto, essa parte é 0.

Passo 7

Agora, calculamos a segunda integral:
1p integral0^infty e^-p x dx = 1p [ -1p e^-p x ]0^infty
Novamente, avaliamos os limites:
  • Quando 1p ( 0 - ( -1p ) ) = 1p times 1p = 1p^2 , tende a 0.
  • Quando , temos .
    Então:

Resposta

A transformada de Laplace de F(p) = 1p^2 é:

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