Vamos resolver a transformada de Laplace para a função . A transformada de Laplace é um conceito da matéria de Equações Diferenciais que nos ajuda a transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para isso, vamos precisar calcular a integral definida:
Passo 2
Primeiro, substituímos por na integral:
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar .
Passo 3
Para resolver a integral , usaremos a técnica de integração por partes. A integração por partes é uma técnica que nos ajuda a integrar produtos de funções e é dada pela fórmula:
Vamos identificar e na nossa integral.
Passo 4
Escolhemos:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 6
Primeiro, calculamos :
Quando , tende a 0, então o termo todo tende a 0.
Quando , temos .
Portanto, essa parte é 0.
Passo 7
Agora, calculamos a segunda integral:
1p integral0^infty e^-p x dx = 1p [ -1p e^-p x ]0^infty
Novamente, avaliamos os limites:
Quando 1p ( 0 - ( -1p ) ) = 1p times 1p = 1p^2 , tende a 0.