Considere a matriz . Determine os autovalores de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz onde . O que precisamos encontrar são os autovalores dessa matriz. Autovalores são valores que, quando aplicados à matriz, não mudam a direção dos vetores, apenas esticam ou encurtam. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente a parte que trata de autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, lembrando como encontrar os autovalores de uma matriz, precisamos resolver a equação característica. Isso significa calcular o determinante de e igualar a zero, onde representa os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 5

A equação característica fica então:
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 6

Expandindo a equação:

Passo 7

Reorganizando os termos:
Isso é uma equação quadrática na forma .

Passo 8

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:

Resposta

Os autovalores da matriz são e .

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