Considere a matriz A=(ll1 & a a & 1), a neq 0. Determine os autovalores de A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz 1 & a a & 1 onde . O que precisamos encontrar são os autovalores dessa matriz. Autovalores são valores que, quando aplicados à matriz, não mudam a direção dos vetores, apenas esticam ou encurtam. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente a parte que trata de autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, lembrando como encontrar os autovalores de uma matriz, precisamos resolver a equação característica. Isso significa calcular o determinante de e igualar a zero, onde representa os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar A - lambda I = 1 - lambda & a a & 1 - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - a cdot a = (1 - lambda)^2 - a^2

Passo 5

A equação característica fica então:
(1 - lambda)^2 - a^2 = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 6

Expandindo a equação:
(1 - lambda)^2 = a^2 1 - 2lambda + lambda^2 = a^2

Passo 7

Reorganizando os termos:
lambda^2 - 2lambda + (1 - a^2) = 0
Isso é uma equação quadrática na forma .

Passo 8

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
lambda = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (1 - a^2)2 cdot 1 lambda = 2 pm raiz4 - 4(1 - a^2)2 lambda = 2 pm raiz4 - 4 + 4a^22 lambda = 2 pm raiz4a^22 lambda = 2 pm 2a2 lambda = 1 pm a

Resposta

Os autovalores da matriz são e .

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