Considere a matriz
. Determine os autovalores de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz
onde
. O que precisamos encontrar são os autovalores dessa matriz. Autovalores são valores que, quando aplicados à matriz, não mudam a direção dos vetores, apenas esticam ou encurtam. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente a parte que trata de autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, lembrando como encontrar os autovalores de uma matriz, precisamos resolver a equação característica. Isso significa calcular o determinante de
e igualar a zero, onde
representa os autovalores e
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
A equação característica fica então:
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 6
Expandindo a equação:
Passo 7
Reorganizando os termos:
Isso é uma equação quadrática na forma
.
Passo 8
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Resposta
Os autovalores da matriz
são
e
.