Em cada caso, determine o valor de k, de modo que a função f(x) seja contínua no ponto a indicado.
(a) a = 2 ; f(x) = { (x^3 - 8) / (x - 2), se x ≠ 2 ; k, se x = 2 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o valor de de forma que a função seja contínua no ponto . Isso envolve o conceito de continuidade, que basicamente significa que não tem “quebra” ou “salto” no gráfico da função nesse ponto. Para garantir isso, o limite da função quando se aproxima de 2 deve ser igual ao valor da função em 2, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2. Olhando para a definição da função:
Como está se aproximando de 2, mas não é exatamente 2, usamos a primeira parte da função:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Note que o numerador é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Portanto, podemos reescrever a fração:

Passo 4

Agora, como , podemos simplificar a fração cancelando o termo :
Então, o limite se simplifica para:

Passo 5

Agora, basta substituir na expressão simplificada para encontrar o limite:

Resposta

Portanto, o valor de que torna contínua em é .

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