Em cada caso, determine o valor de
, de modo que a função
seja contínua no ponto
indicado.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o valor de
de forma que a função
seja contínua no ponto
. Isso envolve o conceito de continuidade, que basicamente significa que não tem “quebra” ou “salto” no gráfico da função nesse ponto. Para garantir isso, o limite da função quando
se aproxima de 2 deve ser igual ao valor da função em 2, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2. Olhando para a definição da função:
Como
está se aproximando de 2, mas não é exatamente 2, usamos a primeira parte da função:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Note que o numerador
é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Portanto, podemos reescrever a fração:
Passo 4
Agora, como
, podemos simplificar a fração cancelando o termo
:
Então, o limite se simplifica para:
Passo 5
Agora, basta substituir
na expressão simplificada para encontrar o limite:
Resposta
Portanto, o valor de
que torna
contínua em
é
.
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