(vale 2,0 pontos) Encontre a primitiva mais geral das expressão a seguir:
Passo 1
Aqui a gente tem a segunda derivada da função
, que é
. Além disso, foram dadas duas condições:
e
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa segunda derivada e as condições iniciais. Para isso, vamos precisar integrar a segunda derivada duas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar
para encontrar a primeira derivada
. A integração nos ajuda a “subir um nível” na derivação. Então,
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo individualmente:
Juntando tudo, temos:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos integrar
para encontrar a função original
:
Passo 5
Integrando cada termo novamente:
E adicionamos outra constante de integração, digamos
. Então,
Passo 6
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeira condição:
Substituindo
na função:
Então,
.
Passo 7
Segunda condição:
Substituindo
na função:
Resolvendo para
:
Resposta
A função
que satisfaz a equação dada e as condições iniciais é: