(vale 2,0 pontos) Encontre a primitiva mais geral das expressão a seguir:

Passo 1

Aqui a gente tem a segunda derivada da função , que é . Além disso, foram dadas duas condições: e . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa segunda derivada e as condições iniciais. Para isso, vamos precisar integrar a segunda derivada duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar para encontrar a primeira derivada . A integração nos ajuda a “subir um nível” na derivação. Então,

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo individualmente:
Juntando tudo, temos:
Aqui, é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos integrar para encontrar a função original :

Passo 5

Integrando cada termo novamente:
E adicionamos outra constante de integração, digamos . Então,

Passo 6

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeira condição:
Substituindo na função:
Então, .

Passo 7

Segunda condição:
Substituindo na função:
Resolvendo para :

Resposta

A função que satisfaz a equação dada e as condições iniciais é:

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Usando as regras de derivação apropriadas, determine as derivadas das funções abaixo:
Usando as regras de derivação apropriadas, determine as derivadas das funções abaixo:
Em cada caso, determine o valor de , de modo que a função seja contínua no ponto indicado.
(a)
Dada a função a seguir: . Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente e os valores máximos ou mínimos locais (vale 1,0 ponto);