Dada a função a seguir:
. Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente e os valores máximos ou mínimos locais (vale 1,0 ponto);
Passo 1
Beleza, a gente tem a função
e precisa descobrir onde ela está crescendo ou diminuindo, além de encontrar os pontos de máximo e mínimo local. Para isso, vamos usar derivadas, que é uma parte do cálculo que nos ajuda a entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função, que nos mostra a taxa de variação dela. A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é igual a zero. Esses pontos podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Podemos simplificar dividindo tudo por 3:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 4
Vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo formado pelos pontos críticos para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
-
Para
: - Escolhemos
-
(positivo) - Função está crescente
- Escolhemos
-
Para
: - Escolhemos
-
(negativo) - Função está decrescente
- Escolhemos
-
Para
: - Escolhemos
-
(positivo) - Função está crescente
- Escolhemos
Passo 5
Com base nisso, podemos identificar os extremos locais:
-
Em
: - A função passa de crescente para decrescente
- Máximo local
- Vamos calcular
:
-
Em
: - A função passa de decrescente para crescente
- Mínimo local
- Vamos calcular
:
Resposta
A função é crescente nos intervalos
e
, e decrescente no intervalo
. Ela tem um máximo local em
com valor
e um mínimo local em
com valor
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, determine o valor de
, de modo que a função
seja contínua no ponto
indicado.
(a)
(a)
(vale 2,0 pontos) Encontre a primitiva mais geral das expressão a seguir:
Por que a velocidade da esfera metálica é constante ao longo de sua trajetória? Explique.
Para os exercícios 7-YY, dada uma função
e um contorno
, use parametrizações de
, ou pedaços de
, para calcular
-
e é o arco de a consistindo do
a) semicírculo;