Dada a função a seguir: . Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente e os valores máximos ou mínimos locais (vale 1,0 ponto);

Passo 1

Beleza, a gente tem a função e precisa descobrir onde ela está crescendo ou diminuindo, além de encontrar os pontos de máximo e mínimo local. Para isso, vamos usar derivadas, que é uma parte do cálculo que nos ajuda a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função, que nos mostra a taxa de variação dela. A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é igual a zero. Esses pontos podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Podemos simplificar dividindo tudo por 3:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 4

Vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo formado pelos pontos críticos para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
  1. Para :
    • Escolhemos
    • (positivo)
    • Função está crescente
  2. Para :
    • Escolhemos
    • (negativo)
    • Função está decrescente
  3. Para :
    • Escolhemos
    • (positivo)
    • Função está crescente

Passo 5

Com base nisso, podemos identificar os extremos locais:
  • Em :
    • A função passa de crescente para decrescente
    • Máximo local
    • Vamos calcular :
  • Em :
    • A função passa de decrescente para crescente
    • Mínimo local
    • Vamos calcular :

Resposta

A função é crescente nos intervalos e , e decrescente no intervalo . Ela tem um máximo local em com valor e um mínimo local em com valor .

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