Em cada caso, determine para quais valores de a implicação é verdadeira
b)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma implicação que envolve valores absolutos e uma inequação quadrática. O enunciado é:
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de (com ) essa implicação é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com valores absolutos e inequações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa expressão define um intervalo de valores de que estão a uma distância menor que de na reta numérica. Matemáticamente, isso se traduz em:
Então, estamos interessados nos valores de que estão entre e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a inequação quadrática . Para entender onde essa inequação é verdadeira, precisamos encontrar as raízes da equação quadrática associada:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 4

Sabemos que uma inequação quadrática do tipo terá sinais positivos fora das raízes e negativos entre as raízes se . No nosso caso, , então:
Isso significa que a inequação é verdadeira para quaisquer menores que 1 ou maiores que 9.

Passo 5

Agora, vamos relacionar isso com o intervalo definido por , que é . Queremos que, dentro desse intervalo, a inequação seja sempre verdadeira.
Sabemos que é válida para e . Como nosso intervalo está centrado em , que é bem menor que 1, precisamos nos certificar de que o limite superior do intervalo seja menor que 1 para manter a validade da inequação dentro de todo o intervalo.
Portanto, temos:
Resolvendo para :

Resposta

Os valores de para os quais a implicação é verdadeira são todos os números reais positivos menores que 4. Ou seja, .

Exercícios relacionados

Determine a solução geral da .
Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
c)
Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
a) Se e , então
Pede-se, para a EDO de Bernoulli,
e) Resolva a .