Em cada caso, determine para quais valores de
a implicação é verdadeira
b)
b)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma implicação que envolve valores absolutos e uma inequação quadrática. O enunciado é:
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de
(com
) essa implicação é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com valores absolutos e inequações quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa expressão define um intervalo de valores de
que estão a uma distância menor que
de
na reta numérica. Matemáticamente, isso se traduz em:
Então, estamos interessados nos valores de
que estão entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a inequação quadrática
. Para entender onde essa inequação é verdadeira, precisamos encontrar as raízes da equação quadrática associada:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Sabemos que uma inequação quadrática do tipo
terá sinais positivos fora das raízes e negativos entre as raízes se
. No nosso caso,
, então:
Isso significa que a inequação é verdadeira para quaisquer
menores que 1 ou maiores que 9.
Passo 5
Agora, vamos relacionar isso com o intervalo definido por
, que é
. Queremos que, dentro desse intervalo, a inequação
seja sempre verdadeira.
Sabemos que
é válida para
e
. Como nosso intervalo está centrado em
, que é bem menor que 1, precisamos nos certificar de que o limite superior do intervalo
seja menor que 1 para manter a validade da inequação dentro de todo o intervalo.
Portanto, temos:
Resolvendo para
:
Resposta
Os valores de
para os quais a implicação é verdadeira são todos os números reais positivos menores que 4. Ou seja,
.
Exercícios relacionados
Determine a solução geral da
.
Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
c)
c)
Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
a) Se e
, então
a) Se
Pede-se, para a EDO de Bernoulli,
e) Resolva a
.