Determine a solução geral da
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Matéria envolvida: Vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, precisamos identificar se a equação é separável, exata, ou se alguma substituição pode simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação:
Essa forma não é imediatamente separável, nem evidente de ser exata. Então, vamos tentar simplificar os termos que envolvem
. Lembre-se que:
Então, podemos reescrever o denominador:
Agora, a equação fica:
Passo 3
Vamos tentar uma substituição para simplificar a equação. Observe que temos
e
na equação. Vamos fazer:
Dessa forma, a derivada de
em relação a
será:
A equação original pode ser rearranjada para expressar
:
Substituindo na expressão da derivada de
:
Então, temos:
Passo 4
Agora, a equação ficou assim:
Vamos rearranjar para facilitar a integração:
Mas isso não simplifica diretamente. Em vez disso, vamos reescrever a equação como:
Isso ainda está complicado, então vamos tentar outra abordagem. Vamos considerar
, mas parece não resolvermos facilmente. Então, vamos tentar tratar a equação como uma equação linear.
A equação pode ser rearranjada para a forma linear:
Mas ainda está complicada. Vamos tentar uma substituição adicional para simplificar.
Passo 5
Vamos tentar uma substituição que una
e
. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Da equação anterior, sabemos que:
Substituindo na expressão de
:
Passo 6
Agora temos uma equação em termos de
:
Vamos rearranjar para separar as variáveis
e
:
Agora, queremos expressar tudo em termos de
de um lado e
do outro. Podemos reescrever a equação como:
Simplificando o denominador:
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Para resolver a integral do lado esquerdo, vamos fazer uma divisão simples:
Então, a integral fica:
Integrando:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, vamos desfazer as substituições que fizemos. Lembrando que:
Então:
Substituindo na expressão que encontramos:
Podemos simplificar cancelando o termo
de ambos os lados:
Dividindo tudo por 2:
Para simplificar, podemos renomear
como uma nova constante
:
Resposta
A solução geral da equaç��o diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
c)
c)
Determine
de modo que a equação diferencial
seja do tipo homogêneo. Para estes valores de
determine a solução.
Em cada caso, determine para quais valores de
a implicação é verdadeira
b)
b)
Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
a) Se e
, então
a) Se