Determine a solução geral da .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Matéria envolvida: Vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, precisamos identificar se a equação é separável, exata, ou se alguma substituição pode simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação:
Essa forma não é imediatamente separável, nem evidente de ser exata. Então, vamos tentar simplificar os termos que envolvem . Lembre-se que:
Então, podemos reescrever o denominador:
Agora, a equação fica:

Passo 3

Vamos tentar uma substituição para simplificar a equação. Observe que temos e na equação. Vamos fazer:
Dessa forma, a derivada de em relação a será:
A equação original pode ser rearranjada para expressar :
Substituindo na expressão da derivada de :
Então, temos:

Passo 4

Agora, a equação ficou assim:
Vamos rearranjar para facilitar a integração:
Mas isso não simplifica diretamente. Em vez disso, vamos reescrever a equação como:
Isso ainda está complicado, então vamos tentar outra abordagem. Vamos considerar , mas parece não resolvermos facilmente. Então, vamos tentar tratar a equação como uma equação linear.
A equação pode ser rearranjada para a forma linear:
Mas ainda está complicada. Vamos tentar uma substituição adicional para simplificar.

Passo 5

Vamos tentar uma substituição que una e . Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Da equação anterior, sabemos que:
Substituindo na expressão de :

Passo 6

Agora temos uma equação em termos de :
Vamos rearranjar para separar as variáveis e :
Agora, queremos expressar tudo em termos de de um lado e do outro. Podemos reescrever a equação como:
Simplificando o denominador:

Passo 7

Agora, vamos integrar ambos os lados:
Para resolver a integral do lado esquerdo, vamos fazer uma divisão simples:
Então, a integral fica:
Integrando:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, vamos desfazer as substituições que fizemos. Lembrando que:
Então:
Substituindo na expressão que encontramos:
Podemos simplificar cancelando o termo de ambos os lados:
Dividindo tudo por 2:
Para simplificar, podemos renomear como uma nova constante :

Resposta

A solução geral da equaç��o diferencial é:
onde é a constante de integração.

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Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
c)
Determine de modo que a equação diferencial
seja do tipo homogêneo. Para estes valores de determine a solução.
Em cada caso, determine para quais valores de a implicação é verdadeira
b)
Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
a) Se e , então