Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
c) |x-3| < 1 => x^2 - 6x + 5 < 0, para todo x em R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa para todo número real x. Para resolver isso, vamos precisar entender valor absoluto e inequações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o que significa . O valor absoluto |x-3| representa a distância de x até 3 na linha dos números reais. Então, quer dizer que x está a menos de 1 unidade de distância de 3.

Passo 3

Vamos resolver a inequação . Isso se traduz em duas desigualdades:
Agora, somamos 3 em todas as partes da desigualdade:
Então, x está entre 2 e 4.

Passo 4

Agora, vamos analisar a expressão . Podemos fatorar o polinômio:
A inequação será verdadeira quando um dos fatores for positivo e o outro for negativo.

Passo 5

Vamos determinar os intervalos onde :
  • Para : ambos os fatores são negativos, então o produto é positivo.
  • Para : um fator é positivo e o outro é negativo, então o produto é negativo.
  • Para : ambos os fatores são positivos, então o produto é positivo.
Portanto, a inequação é satisfeita quando .

Passo 6

Comparando os resultados:
  • A condição inicial nos dá .
  • A inequação é verdadeira para .
Como está completamente dentro de , sempre que for verdadeiro, também será verdadeiro.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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