Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a afirmação
é verdadeira ou falsa para todo número real
. Para resolver isso, vamos precisar entender valor absoluto e inequações quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar o que significa
. O valor absoluto
representa a distância de
até 3 na linha dos números reais. Então,
quer dizer que
está a menos de 1 unidade de distância de 3.
Passo 3
Vamos resolver a inequação
. Isso se traduz em duas desigualdades:
Agora, somamos 3 em todas as partes da desigualdade:
Então,
está entre 2 e 4.
Passo 4
Agora, vamos analisar a expressão
. Podemos fatorar o polinômio:
A inequação
será verdadeira quando um dos fatores for positivo e o outro for negativo.
Passo 5
Vamos determinar os intervalos onde
:
- Para
: ambos os fatores são negativos, então o produto é positivo. - Para
: um fator é positivo e o outro é negativo, então o produto é negativo. - Para
: ambos os fatores são positivos, então o produto é positivo.
Portanto, a inequação é satisfeita quando
.
Passo 6
Comparando os resultados:
- A condição inicial nos dá
. - A inequação
é verdadeira para .
Como
está completamente dentro de
, sempre que
for verdadeiro,
também será verdadeiro.
Resposta
A afirmação é verdadeira.
Exercícios relacionados
Determine
de modo que a equação diferencial
seja do tipo homogêneo. Para estes valores de
determine a solução.
Dada uma constante
, e um número real
qualquer, mostre que para todo
,
c)
c)
Determine a solução geral da
.
Em cada caso, determine para quais valores de
a implicação é verdadeira
b)
b)