Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa para todo número real . Para resolver isso, vamos precisar entender valor absoluto e inequações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o que significa . O valor absoluto representa a distância de até 3 na linha dos números reais. Então, quer dizer que está a menos de 1 unidade de distância de 3.

Passo 3

Vamos resolver a inequação . Isso se traduz em duas desigualdades:
Agora, somamos 3 em todas as partes da desigualdade:
Então, está entre 2 e 4.

Passo 4

Agora, vamos analisar a expressão . Podemos fatorar o polinômio:
A inequação será verdadeira quando um dos fatores for positivo e o outro for negativo.

Passo 5

Vamos determinar os intervalos onde :
  • Para : ambos os fatores são negativos, então o produto é positivo.
  • Para : um fator é positivo e o outro é negativo, então o produto é negativo.
  • Para : ambos os fatores são positivos, então o produto é positivo.
Portanto, a inequação é satisfeita quando .

Passo 6

Comparando os resultados:
  • A condição inicial nos dá .
  • A inequação é verdadeira para .
Como está completamente dentro de , sempre que for verdadeiro, também será verdadeiro.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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Determine de modo que a equação diferencial
seja do tipo homogêneo. Para estes valores de determine a solução.
Dada uma constante , e um número real qualquer, mostre que para todo ,
c)
Determine a solução geral da .
Em cada caso, determine para quais valores de a implicação é verdadeira
b)