Pede-se, para a EDO de Bernoulli,
e) Resolva a .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) conhecida como Equação de Bernoulli. A equação dada é:
Para resolver essa equação, vamos precisar usar técnicas de resolução de EDOs de Bernoulli, que envolvem uma substituição para transformar a equação em uma forma linear.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la no formato padrão da EDO de Bernoulli:
Dividindo todos os termos por , temos:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, fazemos uma substituição para transformar a equação em linear. Vamos definir:
Diferenciando ambos os lados em relação a , temos:
Rearranjando:

Passo 4

Substituímos na equação original:
Dividindo toda a equação por :
Como , temos . Assim, a equação fica:
Multiplicando por para simplificar:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear na forma:
Onde:
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral:
Então,

Passo 6

Multiplicamos toda a equação linear pelo fator integrante:
Simplificando:
Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição , :
Portanto:
Multiplicando ambos os lados por :
Lembrando que :
Invertendo:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
a) Se e , então
Em cada caso, determine para quais valores de a implicação é verdadeira
b)
(b) Uma equação cujo gráfico seja todos os pontos de .
Utilizando o resultado do exercício anterior, resolva as seguintes equações diferenciais nãohomogêneas
a)