Pede-se, para a EDO de Bernoulli,
e) Resolva a
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) conhecida como Equação de Bernoulli. A equação dada é:
Para resolver essa equação, vamos precisar usar técnicas de resolução de EDOs de Bernoulli, que envolvem uma substituição para transformar a equação em uma forma linear.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la no formato padrão da EDO de Bernoulli:
Dividindo todos os termos por
, temos:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, fazemos uma substituição para transformar a equação em linear. Vamos definir:
Diferenciando ambos os lados em relação a
, temos:
Rearranjando:
Passo 4
Substituímos
na equação original:
Dividindo toda a equação por
:
Como
, temos
. Assim, a equação fica:
Multiplicando por
para simplificar:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear na forma:
Onde:
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral:
Então,
Passo 6
Multiplicamos toda a equação linear pelo fator integrante:
Simplificando:
Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição
,
:
Portanto:
Multiplicando ambos os lados por
:
Lembrando que
:
Invertendo:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
a) Se e
, então
a) Se
Em cada caso, determine para quais valores de
a implicação é verdadeira
b)
b)
(b) Uma equação cujo gráfico seja todos os pontos de
.
Utilizando o resultado do exercício anterior, resolva as seguintes equações diferenciais nãohomogêneas
a)
a)