Em cada caso, determine para quais valores de
a implicação é verdadeira
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir para quais valores de
(sendo
) a seguinte implicação é verdadeira:
Isso significa que, sempre que a diferença entre
e 4 for menor que
, a expressão quadrática
deve ser menor que zero. Para resolver isso, vamos precisar entender inequações quadráticas e como o valor absoluto define intervalos para
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a inequação quadrática:
Para isso, precisamos encontrar as raízes da equação
. Vamos calcular o discriminante
:
Como
, temos duas raízes reais:
Então, as raízes são:
Passo 3
Agora que temos as raízes
e
, sabemos que a parábola
cruza o eixo
nesses pontos. Como o coeficiente de
é positivo, a parábola abre para cima, e a expressão
será menor que zero entre as raízes. Portanto, a inequação
é verdadeira para:
Passo 4
Agora, vamos analisar a condição dada pelo valor absoluto:
Essa inequação significa que
está a menos de
unidades de distância de 4. Em termos de intervalo, isso traduz para:
Então, temos dois intervalos:
Para que a implicação seja verdadeira para todo
, o intervalo definido por
precisa estar completamente dentro do intervalo onde
, ou seja:
Passo 5
Vamos resolver as duas desigualdades:
Para que ambas as condições sejam satisfeitas ao mesmo tempo,
deve ser menor ou igual a 3, já que 3 é o menor valor entre 3 e 5.
Resposta
Os valores de
que tornam a implicação verdadeira são todos os positivos menores ou iguais a 3. Ou seja:
Exercícios relacionados
Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
b)
b)
Dada uma constante
, e um número real
qualquer, mostre que para todo
,
a)
a)
Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
b) e
, então
b)
Demonstre as propriedades abaixo, no universo dos números reais, utilizando apenas as propriedades básicas da soma e do produto: associatividade, comutatividade, elemento neutro, existência de oposto (na soma) e inverso (no produto), distributiva.
d)
d)