Em cada caso, determine para quais valores de r (r > 0) a implicação é verdadeira
a) |x-4| < r => x^2 - 10x + 9 < 0, para todo x em R

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir para quais valores de (sendo ) a seguinte implicação é verdadeira:
Isso significa que, sempre que a diferença entre e 4 for menor que , a expressão quadrática deve ser menor que zero. Para resolver isso, vamos precisar entender inequações quadráticas e como o valor absoluto define intervalos para .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a inequação quadrática:
Para isso, precisamos encontrar as raízes da equação . Vamos calcular o discriminante :
Como , temos duas raízes reais:
Então, as raízes são:

Passo 3

Agora que temos as raízes e , sabemos que a parábola cruza o eixo nesses pontos. Como o coeficiente de é positivo, a parábola abre para cima, e a expressão será menor que zero entre as raízes. Portanto, a inequação é verdadeira para:

Passo 4

Agora, vamos analisar a condição dada pelo valor absoluto:
Essa inequação significa que está a menos de unidades de distância de 4. Em termos de intervalo, isso traduz para:
Então, temos dois intervalos:
Para que a implicação seja verdadeira para todo , o intervalo definido por precisa estar completamente dentro do intervalo onde , ou seja:

Passo 5

Vamos resolver as duas desigualdades:
Para que ambas as condições sejam satisfeitas ao mesmo tempo, deve ser menor ou igual a 3, já que 3 é o menor valor entre 3 e 5.

Resposta

Os valores de que tornam a implicação verdadeira são todos os positivos menores ou iguais a 3. Ou seja:

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