Em cada caso, determine para quais valores de a implicação é verdadeira
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir para quais valores de (sendo ) a seguinte implicação é verdadeira:
Isso significa que, sempre que a diferença entre e 4 for menor que , a expressão quadrática deve ser menor que zero. Para resolver isso, vamos precisar entender inequações quadráticas e como o valor absoluto define intervalos para .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a inequação quadrática:
Para isso, precisamos encontrar as raízes da equação . Vamos calcular o discriminante :
Como , temos duas raízes reais:
Então, as raízes são:

Passo 3

Agora que temos as raízes e , sabemos que a parábola cruza o eixo nesses pontos. Como o coeficiente de é positivo, a parábola abre para cima, e a expressão será menor que zero entre as raízes. Portanto, a inequação é verdadeira para:

Passo 4

Agora, vamos analisar a condição dada pelo valor absoluto:
Essa inequação significa que está a menos de unidades de distância de 4. Em termos de intervalo, isso traduz para:
Então, temos dois intervalos:
Para que a implicação seja verdadeira para todo , o intervalo definido por precisa estar completamente dentro do intervalo onde , ou seja:

Passo 5

Vamos resolver as duas desigualdades:
Para que ambas as condições sejam satisfeitas ao mesmo tempo, deve ser menor ou igual a 3, já que 3 é o menor valor entre 3 e 5.

Resposta

Os valores de que tornam a implicação verdadeira são todos os positivos menores ou iguais a 3. Ou seja:

Exercícios relacionados

Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
b)
Dada uma constante , e um número real qualquer, mostre que para todo ,
a)
Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
b) e , então
Demonstre as propriedades abaixo, no universo dos números reais, utilizando apenas as propriedades básicas da soma e do produto: associatividade, comutatividade, elemento neutro, existência de oposto (na soma) e inverso (no produto), distributiva.
d)