Demonstre as propriedades abaixo, no universo dos números reais, utilizando apenas as propriedades básicas da soma e do produto: associatividade, comutatividade, elemento neutro, existência de oposto (na soma) e inverso (no produto), distributiva.
d)

Passo 1

Beleza! O exercício pede para mostrar que, nos números reais, . Vamos usar as propriedades básicas da soma e do produto, como associatividade, comutatividade, elemento neutro, existência de oposto e a distributiva para chegar nessa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que . Para isso, usamos a propriedade distributiva da multiplicação sobre a soma. Sabemos que multiplicar por -1 é o mesmo que tirar o oposto do número. Então:
Mas, por definição, . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos provar que . Aqui, novamente usamos a propriedade distributiva e a definição de oposto. Sabemos que tirar o oposto de um produto é o mesmo que multiplicar um dos fatores pelo seu oposto:

Resposta

Assim, demonstramos que .

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Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
b) e , então
Em cada caso, determine para quais valores de a implicação é verdadeira
a)
Calcule a integral onde: e é o conjunto de todos os pontos tais que e
Para cada afirmação abaixo, determine se é verdadeira ou falsa:
a) O conjunto não possui nem supremo nem ínfimo.