Demonstre as propriedades abaixo, no universo dos números reais, utilizando apenas as propriedades básicas da soma e do produto: associatividade, comutatividade, elemento neutro, existência de oposto (na soma) e inverso (no produto), distributiva.
d) a * (-b) = -(a * b) = (-a) * b

Passo 1

Beleza! O exercício pede para mostrar que, nos números reais, . Vamos usar as propriedades básicas da soma e do produto, como associatividade, comutatividade, elemento neutro, existência de oposto e a distributiva para chegar nessa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que . Para isso, usamos a propriedade distributiva da multiplicação sobre a soma. Sabemos que multiplicar por -1 é o mesmo que tirar o oposto do número. Então:
Mas, por definição, . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos provar que . Aqui, novamente usamos a propriedade distributiva e a definição de oposto. Sabemos que tirar o oposto de um produto é o mesmo que multiplicar um dos fatores pelo seu oposto:

Resposta

Assim, demonstramos que .

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