Demonstre as propriedades abaixo, no universo dos números reais, utilizando apenas as propriedades básicas da soma e do produto: associatividade, comutatividade, elemento neutro, existência de oposto (na soma) e inverso (no produto), distributiva.
d)
d)
Passo 1
Beleza! O exercício pede para mostrar que, nos números reais,
. Vamos usar as propriedades básicas da soma e do produto, como associatividade, comutatividade, elemento neutro, existência de oposto e a distributiva para chegar nessa igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
. Para isso, usamos a propriedade distributiva da multiplicação sobre a soma. Sabemos que multiplicar por -1 é o mesmo que tirar o oposto do número. Então:
Mas, por definição,
. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos provar que
. Aqui, novamente usamos a propriedade distributiva e a definição de oposto. Sabemos que tirar o oposto de um produto é o mesmo que multiplicar um dos fatores pelo seu oposto:
Resposta
Assim, demonstramos que
.
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Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
b) e
, então
b)
Em cada caso, determine para quais valores de
a implicação é verdadeira
a)
a)
Calcule a integral
onde:
e
é o conjunto de todos os pontos
tais que
e
Para cada afirmação abaixo, determine se é verdadeira ou falsa:
a) O conjunto não possui nem supremo nem ínfimo.
a) O conjunto