Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
b)
e
, então
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos a Desigualdade Triangular, que é uma regra importante na matemática para lidar com valores absolutos. Nós temos duas condições:
E precisamos mostrar que
. Para isso, vamos usar a Desigualdade Triangular passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão que precisamos mostrar:
. Podemos reorganizar os termos dentro do valor absoluto:
Isso fica mais fácil de trabalhar.
Passo 3
Agora, aplicamos a Desigualdade Triangular, que nos diz que para quaisquer números reais
e
:
No nosso caso, temos
e
. Aplicando isso:
E como o valor absoluto de
é igual ao valor absoluto de
, fica:
Passo 4
Segundo as condições dadas na questão, sabemos que:
Vamos somar essas duas desigualdades:
Passo 5
Agora, juntando tudo, temos:
Então, concluímos que:
Resposta
Portanto, usando a Desigualdade Triangular, mostramos que se
e
, então
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, determine para quais valores de
a implicação é verdadeira
a)
a)
Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
b)
b)
Demonstre as propriedades abaixo, no universo dos números reais, utilizando apenas as propriedades básicas da soma e do produto: associatividade, comutatividade, elemento neutro, existência de oposto (na soma) e inverso (no produto), distributiva.
d)
d)
Calcule a integral
onde:
e
é o conjunto de todos os pontos
tais que
e