Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
b) Se |x - x0| < epsilon/2 e |y - y0| < epsilon/2, então |(x-y) - (x0 - y0)| < epsilon

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos a Desigualdade Triangular, que é uma regra importante na matemática para lidar com valores absolutos. Nós temos duas condições:
E precisamos mostrar que . Para isso, vamos usar a Desigualdade Triangular passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que precisamos mostrar: . Podemos reorganizar os termos dentro do valor absoluto:
Isso fica mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Agora, aplicamos a Desigualdade Triangular, que nos diz que para quaisquer números reais a e b:
No nosso caso, temos e . Aplicando isso:
E como o valor absoluto de é igual ao valor absoluto de b, fica:

Passo 4

Segundo as condições dadas na questão, sabemos que:
Vamos somar essas duas desigualdades:

Passo 5

Agora, juntando tudo, temos:
Então, concluímos que:

Resposta

Portanto, usando a Desigualdade Triangular, mostramos que se e , então .

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