Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
b) e , então

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos a Desigualdade Triangular, que é uma regra importante na matemática para lidar com valores absolutos. Nós temos duas condições:
E precisamos mostrar que . Para isso, vamos usar a Desigualdade Triangular passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que precisamos mostrar: . Podemos reorganizar os termos dentro do valor absoluto:
Isso fica mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Agora, aplicamos a Desigualdade Triangular, que nos diz que para quaisquer números reais e :
No nosso caso, temos e . Aplicando isso:
E como o valor absoluto de é igual ao valor absoluto de , fica:

Passo 4

Segundo as condições dadas na questão, sabemos que:
Vamos somar essas duas desigualdades:

Passo 5

Agora, juntando tudo, temos:
Então, concluímos que:

Resposta

Portanto, usando a Desigualdade Triangular, mostramos que se e , então .

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Em cada caso, determine para quais valores de a implicação é verdadeira
a)
Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
b)
Demonstre as propriedades abaixo, no universo dos números reais, utilizando apenas as propriedades básicas da soma e do produto: associatividade, comutatividade, elemento neutro, existência de oposto (na soma) e inverso (no produto), distributiva.
d)
Calcule a integral onde: e é o conjunto de todos os pontos tais que e