Dada uma constante , e um número real qualquer, mostre que para todo ,
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede pra gente mostrar que a desigualdade envolvendo o valor absoluto de , isto é, , é equivalente a . Isso tá dentro do conteúdo de desigualdades e valor absoluto na matemática. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa o valor absoluto e como ele se relaciona com intervalos de números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. O valor absoluto de um número, , é a distância desse número até zero na reta numérica, independente da direção. Ou seja, significa que a distância de até zero é menor que .

Passo 3

Agora, vamos traduzir essa ideia de distância para uma desigualdade. Se a distância de até zero é menor que , isso quer dizer que está a menos de unidades de zero. Em termos matemáticos, isso significa que está entre e .

Passo 4

Então, se , podemos escrever:
E vice-versa, se , então . Assim, as duas expressões são equivalentes.

Resposta

Portanto, mostramos que é equivalente a para todo .

Exercícios relacionados

Calcule a integral onde: e é o conjunto de todos os pontos tais que e .
Expresse a dízima periódica decimal como uma fração ordinária.
Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
b)
Em cada caso, determine para quais valores de a implicação é verdadeira
a)