Dada uma constante
, e um número real
qualquer, mostre que para todo
,
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede pra gente mostrar que a desigualdade envolvendo o valor absoluto de
, isto é,
, é equivalente a
. Isso tá dentro do conteúdo de desigualdades e valor absoluto na matemática. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa o valor absoluto e como ele se relaciona com intervalos de números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. O valor absoluto de um número,
, é a distância desse número até zero na reta numérica, independente da direção. Ou seja,
significa que a distância de
até zero é menor que
.
Passo 3
Agora, vamos traduzir essa ideia de distância para uma desigualdade. Se a distância de
até zero é menor que
, isso quer dizer que
está a menos de
unidades de zero. Em termos matemáticos, isso significa que
está entre
e
.
Passo 4
Então, se
, podemos escrever:
E vice-versa, se
, então
. Assim, as duas expressões são equivalentes.
Resposta
Portanto, mostramos que
é equivalente a
para todo
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral
onde:
e
é o conjunto de todos os pontos
tais que
e
.
Expresse a dízima periódica decimal como uma fração ordinária.
Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
b)
b)
Em cada caso, determine para quais valores de
a implicação é verdadeira
a)
a)