Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
b)

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos pede para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa para todo número real . Basicamente, queremos saber se, sempre que a distância de até 2 for menor que 1, então será menor que 4. Para resolver isso, vamos entender o que significa a desigualdade com valor absoluto e depois analisar a consequência.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a desigualdade . O valor absoluto representa a distância de até 2 na reta numérica. Quando dizemos que essa distância é menor que 1, estamos afirmando que está dentro de um intervalo de 1 unidade à esquerda e à direita de 2.
Matematicamente, podemos expressar isso assim:
Agora, vamos resolver essa dupla desigualdade adicionando 2 a todas as partes:
Então, qualquer valor de que satisfaça estará compreendido entre 1 e 3.

Passo 3

Agora, queremos verificar se, para todo nesse intervalo , a afirmação �� verdadeira. Observando os limites do intervalo:
  • O menor valor de é um pouco acima de 1.
  • O maior valor de é um pouco abaixo de 3.
Claramente, todos esses valores de são menores que 4. Não há nenhum no intervalo que seja igual ou maior que 4.

Resposta

Verdadeira.

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Dada uma constante , e um número real qualquer, mostre que para todo ,
a)
Calcule a integral onde: e é o conjunto de todos os pontos tais que e .
Em cada caso, determine para quais valores de a implicação é verdadeira
a)
Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
b) e , então