Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
b)
b)
Passo 1
Vamos lá! O exercício nos pede para verificar se a afirmação
é verdadeira ou falsa para todo número real
. Basicamente, queremos saber se, sempre que a distância de
até 2 for menor que 1, então
será menor que 4. Para resolver isso, vamos entender o que significa a desigualdade com valor absoluto e depois analisar a consequência.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a desigualdade
. O valor absoluto
representa a distância de
até 2 na reta numérica. Quando dizemos que essa distância é menor que 1, estamos afirmando que
está dentro de um intervalo de 1 unidade à esquerda e à direita de 2.
Matematicamente, podemos expressar isso assim:
Agora, vamos resolver essa dupla desigualdade adicionando 2 a todas as partes:
Então, qualquer valor de
que satisfaça
estará compreendido entre 1 e 3.
Passo 3
Agora, queremos verificar se, para todo
nesse intervalo
, a afirmação
�� verdadeira. Observando os limites do intervalo:
- O menor valor de
é um pouco acima de 1. - O maior valor de
é um pouco abaixo de 3.
Claramente, todos esses valores de
são menores que 4. Não há nenhum
no intervalo
que seja igual ou maior que 4.
Resposta
Verdadeira.
Exercícios relacionados
Dada uma constante
, e um número real
qualquer, mostre que para todo
,
a)
a)
Calcule a integral
onde:
e
é o conjunto de todos os pontos
tais que
e
.
Em cada caso, determine para quais valores de
a implicação é verdadeira
a)
a)
Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
b) e
, então
b)