Em cada caso, determine os vértices, os focos e as medidas dos eixos maior e menor da elipse.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente precisa encontrar os vértices, os focos e as medidas dos eixos maior e menor da elipse dada pela equação
. Para isso, vamos usar a teoria das elipses, que envolve converter a equação para a forma padrão e identificar seus parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão de uma elipse centrada na origem é:
Onde:
-
é o semi-eixo maior -
é o semi-eixo menor
Para isso, dividimos toda a equação por 12:
Passo 3
Agora, identificamos
e
:
Como
, o eixo maior está ao longo do eixo
e o eixo menor ao longo do eixo
.
Passo 4
Os vértices da elipse estão localizados a uma distância
do centro (que é a origem). Então, os vértices são:
Passo 5
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Então, os focos estão a uma distância
do centro:
Passo 6
As medidas dos eixos maior e menor são:
- Eixo maior:
- Eixo menor:
Resposta
Vértices:
e
Focos:
e
Eixo maior: 4 unidades
Eixo menor:
unidades