Em cada caso, determine os vértices, os focos e as medidas dos eixos maior e menor da elipse. 3 x^2+4 y^2=12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente precisa encontrar os vértices, os focos e as medidas dos eixos maior e menor da elipse dada pela equação . Para isso, vamos usar a teoria das elipses, que envolve converter a equação para a forma padrão e identificar seus parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão de uma elipse centrada na origem é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Onde:
  • 3x^212 + 4y^212 = 1 implies x^24 + y^23 = 1 é o semi-eixo maior
  • é o semi-eixo menor
Para isso, dividimos toda a equação por 12:

Passo 3

Agora, identificamos a^2 = 4 implies a = 2 e b^2 = 3 implies b = raiz3 :
Como , o eixo maior está ao longo do eixo e o eixo menor ao longo do eixo .

Passo 4

Os vértices da elipse estão localizados a uma distância (pm a, 0) = (pm 2, 0) do centro (que é a origem). Então, os vértices são:

Passo 5

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
c = raiza^2 - b^2 = raiz4 - 3 = raiz1 = 1
Então, os focos estão a uma distância (pm c, 0) = (pm 1, 0) do centro:

Passo 6

As medidas dos eixos maior e menor são:
  • Eixo maior:
  • Eixo menor:

Resposta

Vértices: e
Focos: e
Eixo maior: 4 unidades
Eixo menor: unidades

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