Determine o posto de cada uma das matrizes abaixo e diga quals delas são equivalentes à matriz identidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir o posto da matriz que está escrita assim:
Além disso, tem que dizer se essa matriz é equivalente à matriz identidade. Vamos precisar entender o que é o posto de uma matriz e quando uma matriz é equivalente à identidade. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como operações de linha e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o posto de uma matriz. O posto é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes na matriz. Basicamente, ele nos diz a “dimensão” das informações que a matriz carrega. Para encontrar o posto, geralmente transformamos a matriz em forma escalonada usando operações elementares de linha.
Passo 3
Vamos começar aplicando operações de linha na matriz para deixá-la mais simples. Nosso objetivo é obter zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Subtrair a primeira linha das demais:
Aplicando isso, a matriz fica:
Simplificar as linhas:
Observamos que, se , podemos continuar simplificando. Por exemplo, podemos dividir a segunda linha por e assim por diante, para obter mais zeros e facilitar a contagem das linhas independentes.
Após essas operações, determinamos quantas linhas permanecem não nulas. Esse número será o posto da matriz .
Passo 4
Agora, para verificar se a matriz é equivalente à matriz identidade, precisamos ver se, através das operações de linha, conseguimos transformar exatamente na matriz identidade . A matriz identidade tem todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e os demais iguais a 0.
Se, após todas as operações, conseguimos chegar exatamente na identidade, então é equivalente a . Caso contrário, não é.
Resposta
O posto da matriz é 3. Além disso, não é equivalente à matriz identidade.