Seja W o subespaço gerado pelos vetores de alpha=(1,2,1,0),(2,3,1,0),(0,0,1,0),(1,1,2,0).
© Determine uma base para R^4 que possua dois vetores de alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base para que inclua dois vetores do conjunto . Basicamente, precisamos selecionar dois vetores de e completar a base com outros dois vetores que, juntos, formem uma base completa para . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como independência linear e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores em v1 = (1,2,1,0), v2 = (2,3,1,0), v3 = (0,0,1,0), v4 = (1,1,2,0) são linearmente independentes. Se não forem, podemos descartar os que são combinações dos outros. Olhando para , vemos que os vetores são:
Vamos testar se existe uma combinação linear que faça um dos vetores igual a zero.

Passo 3

Vamos ver se v4 = a v1 + b v2 + c v3 pode ser escrito como uma combinação de 1 = a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot 0 1 = a cdot 2 + b cdot 3 + c cdot 0 2 = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1 0 = a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 0 e . Suponha que:
Isso dá o sistema:
Resolvendo, encontramos que é uma combinação linear de e , então podemos descartar .

Passo 4

Agora, temos três vetores: 1 & 2 & 0 2 & 3 & 0 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 . Vamos verificar se esses três são linearmente independentes. Montamos a matriz com esses vetores como colunas:
Calculando o determinante das submatrizes , vemos que eles são independentes. Então, podemos usar como parte da nossa base.

Passo 5

Agora, precisamos de mais um vetor para completar a base de . Já temos três vetores que são independentes, então basta adicionar um vetor que não esteja no espaço gerado por . Um bom candidato é , que é o vetor padrão na quarta coordenada.

Resposta

Uma base para que contém dois vetores de é .

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