Seja o subespaço gerado pelos vetores de .
© Determine uma base para que possua dois vetores de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base para que inclua dois vetores do conjunto . Basicamente, precisamos selecionar dois vetores de e completar a base com outros dois vetores que, juntos, formem uma base completa para . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como independência linear e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores em são linearmente independentes. Se não forem, podemos descartar os que são combinações dos outros. Olhando para , vemos que os vetores são:
Vamos testar se existe uma combinação linear que faça um dos vetores igual a zero.

Passo 3

Vamos ver se pode ser escrito como uma combinação de e . Suponha que:
Isso dá o sistema:
Resolvendo, encontramos que é uma combinação linear de e , então podemos descartar .

Passo 4

Agora, temos três vetores: . Vamos verificar se esses três são linearmente independentes. Montamos a matriz com esses vetores como colunas:
Calculando o determinante das submatrizes , vemos que eles são independentes. Então, podemos usar como parte da nossa base.

Passo 5

Agora, precisamos de mais um vetor para completar a base de . Já temos três vetores que são independentes, então basta adicionar um vetor que não esteja no espaço gerado por . Um bom candidato é , que é o vetor padrão na quarta coordenada.

Resposta

Uma base para que contém dois vetores de é .

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Em cada caso, determine os vértices, os focos e as medidas dos eixos maior e menor da elipse.
Considere a matriz .
(a) Escreva as soluções do sistema na forma vetorial.
Determine o posto de cada uma das matrizes abaixo e diga quals delas são equivalentes à matriz identidade.
Seja um espaço vetorial com produto interno. O complemento ortogonal de um conjunto não-vazio é o conjunto formado pelos vetores que são ortogonais a todos os vetores . Para todo subespaço mostre que
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