Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base para que inclua dois vetores do conjunto . Basicamente, precisamos selecionar dois vetores de e completar a base com outros dois vetores que, juntos, formem uma base completa para . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como independência linear e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores em são linearmente independentes. Se não forem, podemos descartar os que são combinações dos outros. Olhando para , vemos que os vetores são:
Vamos testar se existe uma combinação linear que faça um dos vetores igual a zero.
Passo 3
Vamos ver se pode ser escrito como uma combinação de e . Suponha que:
Isso dá o sistema:
Resolvendo, encontramos que é uma combinação linear de e , então podemos descartar .
Passo 4
Agora, temos três vetores: . Vamos verificar se esses três são linearmente independentes. Montamos a matriz com esses vetores como colunas:
Calculando o determinante das submatrizes , vemos que eles são independentes. Então, podemos usar como parte da nossa base.
Passo 5
Agora, precisamos de mais um vetor para completar a base de . Já temos três vetores que são independentes, então basta adicionar um vetor que não esteja no espaço gerado por . Um bom candidato é , que é o vetor padrão na quarta coordenada.