Considere a matriz .
(a) Escreva as soluções do sistema na forma vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as soluções do sistema linear homogêneo , onde é uma matriz dada. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente tratando de sistemas lineares e espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de redução de matrizes (como a eliminação de Gauss) para encontrar todas as possíveis soluções vetoriais que satisfazem esse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma aumentada, que é basicamente a matriz junto com uma coluna de zeros:
Passo 3
Agora, vamos realizar operações de linha para simplificar essa matriz. O objetivo é chegar a uma forma onde possamos identificar facilmente as variáveis livres e as variáveis básicas.
Primeiro, subtrai a primeira linha da segunda e da terceira linhas para eliminar o primeiro elemento dessas linhas:
Passo 4
Em seguida, vamos simplificar a segunda linha multiplicando-a por -1:
Agora, vamos eliminar o segundo elemento das linhas terceira e quarta, subtraindo 3 vezes a segunda linha da terceira e a segunda linha da quarta:
Passo 5
Perceba que as linhas terceira e quarta são iguais, então podemos eliminar uma delas:
Agora, vamos simplificar a terceira linha multiplicando-a por -1:
Passo 6
Vamos usar a terceira linha para eliminar o quarto elemento da primeira e da segunda linhas. Subtraímos a terceira linha da primeira e da segunda:
Primeira linha:
Segunda linha:
Passo 7
Agora, temos o sistema simplificado:
Podemos reescrever isso para expressar as variáveis básicas em termos das variáveis livres. Vamos escolher e como variáveis livres.
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Da primeira equação:
Passo 8
Agora, podemos expressar todas as variáveis em termos de e :
Passo 9
Para escrever a solução na forma vetorial, vamos utilizar os parâmetros e , onde e são números reais quaisquer: