Considere a matriz .
(a) Escreva as soluções do sistema na forma vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as soluções do sistema linear homogêneo , onde é uma matriz dada. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente tratando de sistemas lineares e espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de redução de matrizes (como a eliminação de Gauss) para encontrar todas as possíveis soluções vetoriais que satisfazem esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma aumentada, que é basicamente a matriz junto com uma coluna de zeros:

Passo 3

Agora, vamos realizar operações de linha para simplificar essa matriz. O objetivo é chegar a uma forma onde possamos identificar facilmente as variáveis livres e as variáveis básicas.
Primeiro, subtrai a primeira linha da segunda e da terceira linhas para eliminar o primeiro elemento dessas linhas:

Passo 4

Em seguida, vamos simplificar a segunda linha multiplicando-a por -1:
Agora, vamos eliminar o segundo elemento das linhas terceira e quarta, subtraindo 3 vezes a segunda linha da terceira e a segunda linha da quarta:

Passo 5

Perceba que as linhas terceira e quarta são iguais, então podemos eliminar uma delas:
Agora, vamos simplificar a terceira linha multiplicando-a por -1:

Passo 6

Vamos usar a terceira linha para eliminar o quarto elemento da primeira e da segunda linhas. Subtraímos a terceira linha da primeira e da segunda:
Primeira linha:
Segunda linha:

Passo 7

Agora, temos o sistema simplificado:
Podemos reescrever isso para expressar as variáveis básicas em termos das variáveis livres. Vamos escolher e como variáveis livres.
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Da primeira equação:

Passo 8

Agora, podemos expressar todas as variáveis em termos de e :

Passo 9

Para escrever a solução na forma vetorial, vamos utilizar os parâmetros e , onde e são números reais quaisquer:

Resposta

As soluções do sistema na forma vetorial são:

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