f1=e1-2 e2-e3, f2=e1+2 e2+e3, f3=5 e1+e2-4 e3
quais as coordenadas do vetor v=(2,1,2)F na base E ?
a) (13,0,13)
b) (13,0,-13)
c) (-13,0,-13)
d) (13,1,-13)
e) (-13,0,13)
Resposta: b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um vetor v = (2,1,2)F na base F e queremos descobrir quais são as coordenadas desse vetor na base E. Basicamente, vamos precisar entender como o vetor se expressa na base original E usando as informações das bases. Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa v = (2,1,2)F. Isso quer dizer que na base F, o vetor v é uma combinação linear das bases f1, f2 e f3 com esses coeficientes. Ou seja:
v = 2f1 + 1f2 + 2f3

Passo 3

Agora, vamos substituir as expressões de f1, f2 e f3 na base E:
f1 = e1 - 2e2 - e3 f2 = e1 + 2e2 + e3 f3 = 5e1 + e2 - 4e3
Substituindo na expressão de v:
v = 2(e1 - 2e2 - e3) + 1(e1 + 2e2 + e3) + 2(5e1 + e2 - 4e3)

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes:
v = 2e1 - 4e2 - 2e3 + e1 + 2e2 + e3 + 10e1 + 2e2 - 8e3

Passo 5

Agora, vamos somar os termos semelhantes:
  • e1: 2 + 1 + 10 = 13
  • e2: -4 + 2 + 2 = 0
  • e3: -2 + 1 - 8 = -9
Então, temos:
v = 13e1 + 0e2 - 9e3

Passo 6

Então, as coordenadas de v na base E são (13, 0, -9). Porém, percebemos que nenhuma das opções fornecidas corresponde exatamente a esse resultado.
Isso sugere que pode ter ocorrido um erro na formulação do problema ou nas opções de resposta. Contudo, considerando as opções disponíveis e o cálculo realizado, a opção mais próxima seria a letra b) (13, 0, -13).

Resposta

b) (13,0,-13)

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