Use o método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan para determinar as soluções (caso existam) dos seguintes sistemas lineares
x+2 y+3 z=6
x+y+z+w=10
(a) 2 x+3 y+z=4

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um sistema de equações lineares com quatro variáveis x + 2y + 3z = 6 x + y + z + w = 10 2x + 3y + z = 4 , , e :
Vamos usar o método de eliminação de Gauss para resolver esse sistema. Isso envolve transformar o sistema em uma forma mais simples, fazendo com que possamos encontrar os valores das incógnitas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
1 & 2 & 3 & 0 & | & 6 1 & 1 & 1 & 1 & | & 10 2 & 3 & 1 & 0 & | & 4
Aqui, cada linha representa uma equação, e cada coluna representa uma variável ( ). O último número de cada linha é o resultado da equação.

Passo 3

Vamos começar eliminando o (1 - 1)x + (1 - 2)y + (1 - 3)z + (1 - 0)w = 10 - 6 0x - y - 2z + w = 4 das segundas e terceiras linhas. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira.
Subtraindo a primeira linha da segunda:
(2 - 1)x + (3 - 2)y + (1 - 3)z + (0 - 0)w = 4 - 6 x + y - 2z + 0w = -2
Subtraindo a primeira linha da terceira:
1 & 2 & 3 & 0 & | & 6 0 & -1 & -2 & 1 & | & 4 0 & 1 & -2 & 0 & | & -2
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos trabalhar com as linhas abaixo da primeira para simplificar ainda mais. Podemos somar a segunda e a terceira linha para eliminar o (0 + 0)x + (-1 + 1)y + (-2 - 2)z + (1 + 0)w = 4 + (-2) 0x + 0y -4z + w = 2 :
1 & 2 & 3 & 0 & | & 6 0 & -1 & -2 & 1 & | & 4 0 & 0 & -4 & 1 & | & 2
Então, temos a nova matriz:

Passo 5

Agora, vamos resolver a terceira linha para uma das variáveis. Vamos isolar o -4z + w = 2 w = 4z + 2 :
Agora, sabemos que depende de .

Passo 6

Vamos voltar para a segunda linha e substituir - y - 2z + (4z + 2) = 4 - y + 2z + 2 = 4 - y + 2z = 2 y = 2z - 2 na equação:
Agora, também sabemos que depende de .

Passo 7

Por fim, vamos substituir x + 2(2z - 2) + 3z = 6 x + 4z - 4 + 3z = 6 x + 7z - 4 = 6 x = -7z + 10 e na primeira equação para encontrar :

Resposta

As soluções do sistema são dadas em função de x = -7z + 10 y = 2z - 2 w = 4z + 2 z = z , que pode ser qualquer número real. Assim, temos:
(x, y, z, w) = (10, -2, 0, 2) + z(-7, 2, 1, 4), onde z in R
Ou de forma vetorial:

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