Em cada caso, determine se
é subespaço de
. Justifique.
e
é o conjunto dos números complexos com parte real igual à parte imaginária.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar se
é um subespaço de
. Aqui,
é o conjunto dos números complexos
, e
é o conjunto dos números complexos onde a parte real é igual à parte imaginária. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é
. Um número complexo pode ser escrito como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Segundo o enunciado, em
, temos que
. Então,
é o conjunto de todos os números complexos da forma
, ou seja,
, onde
é um número real.
Passo 3
Agora, para
ser um subespaço de
, ele precisa cumprir três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor zero do espaço
deve estar em . - Fechamento sob adição: Se dois vetores estão em
, a soma deles também deve estar em . - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em
, qualquer múltiplo escalar dele também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 4
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Aqui, a parte real e imaginária são iguais (ambas são zero), então
. Essa condição está satisfeita.
Passo 5
2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de
:
e
.
A soma deles é:
.
Como
é real, a parte real e imaginária de
são iguais. Portanto,
. Assim, a condição de fechamento sob adição está satisfeita.
Passo 6
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar um elemento de
por um escalar
:
.
Aqui, a parte real
é igual à parte imaginária
, então
. Assim, a condição de fechamento sob multiplicação por escalar também está satisfeita.
Resposta
Como todas as três condições para
ser um subespaço de
são satisfeitas, concluímos que
é, de fato, um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Seja
e
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2. Denotando por
as coordenadas de
com relação à base
, calcule o valor de
.
(D) 3
(D) 3
Seja
e
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2. Denotando por
as coordenadas de
com relação à base
, calcule o valor de
.
© -1
© -1
Em cada caso, determine se
é subespaço de
. Justifique.
e
é o conjunto dos polinômios com alguma raiz inteira.
O conjunto dos
tais que
pode ser representado por:
(G)
(G)