Em cada caso, determine se é subespaço de . Justifique.
e é o conjunto dos números complexos com parte real igual à parte imaginária.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar se é um subespaço de . Aqui, é o conjunto dos números complexos , e é o conjunto dos números complexos onde a parte real é igual à parte imaginária. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é . Um número complexo pode ser escrito como , onde é a parte real e é a parte imaginária. Segundo o enunciado, em , temos que . Então, é o conjunto de todos os números complexos da forma , ou seja, , onde é um número real.

Passo 3

Agora, para ser um subespaço de , ele precisa cumprir três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero do espaço deve estar em .
  2. Fechamento sob adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também deve estar em .
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo escalar dele também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 4

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Aqui, a parte real e imaginária são iguais (ambas são zero), então . Essa condição está satisfeita.

Passo 5

2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de :
e .
A soma deles é:
.
Como é real, a parte real e imaginária de são iguais. Portanto, . Assim, a condição de fechamento sob adição está satisfeita.

Passo 6

3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar um elemento de por um escalar :
.
Aqui, a parte real é igual à parte imaginária , então . Assim, a condição de fechamento sob multiplicação por escalar também está satisfeita.

Resposta

Como todas as três condições para ser um subespaço de são satisfeitas, concluímos que é, de fato, um subespaço de .

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