Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um polinômio e uma base do espaço dos polinômios de grau até 2. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de em relação a essa base e, especificamente, calcular o valor de .
Para isso, vamos precisar entender como expressar como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar coeficientes , e tais que:
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a expressão do lado direito:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos igualar os coeficientes de com os da combinação linear que acabamos de obter. Ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de (2a - b - c) + (2a + b + 2c) = 8 + 5 4a + c = 13 (Equação 4) , e . Nosso foco é encontrar , mas para isso, precisamos resolver as três equações.
Primeiro, vamos somar as duas primeiras equações para eliminar :
çã
Passo 5
Agora, vamos multiplicar a segunda equação por 5 para facilitar a eliminação de 5 times (2a + b + 2c) = 5 times 5 10a + 5b + 10c = 25 (Equação 5) :