Seja p(x)=8+5 x+30 x^2 e barbeta=2+2 x+6 x^2, -1+x-5 x^2, -1+2 x-3 x^2 uma base do espaço dos polinômios de grau até 2. Denotando por [p]beta=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base beta, calcule o valor de c.
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Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um polinômio p(x) = a cdot (2 + 2x + 6x^2) + b cdot (-1 + x - 5x^2) + c cdot (-1 + 2x - 3x^2) e uma base do espaço dos polinômios de grau até 2. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de em relação a essa base e, especificamente, calcular o valor de .
Para isso, vamos precisar entender como expressar como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar coeficientes , e tais que:

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão do lado direito:
p(x) = a(2) + a(2x) + a(6x^2) + b(-1) + b(x) + b(-5x^2) + c(-1) + c(2x) + c(-3x^2)
Simplificando:
p(x) = (2a - b - c) + (2a + b + 2c)x + (6a - 5b - 3c)x^2

Passo 3

Agora, vamos igualar os coeficientes de 8 + 5x + 30x^2 = (2a - b - c) + (2a + b + 2c)x + (6a - 5b - 3c)x^2 com os da combinação linear que acabamos de obter. Ou seja:
2a - b - c = 8 2a + b + 2c = 5 6a - 5b - 3c = 30
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de (2a - b - c) + (2a + b + 2c) = 8 + 5 4a + c = 13 (Equação 4) , e . Nosso foco é encontrar , mas para isso, precisamos resolver as três equações.
Primeiro, vamos somar as duas primeiras equações para eliminar :
çã

Passo 5

Agora, vamos multiplicar a segunda equação por 5 para facilitar a eliminação de 5 times (2a + b + 2c) = 5 times 5 10a + 5b + 10c = 25 (Equação 5) :
(10a + 5b + 10c) + (6a - 5b - 3c) = 25 + 30 16a + 7c = 55 (Equação 6) çã
Em seguida, vamos somar a Equação 5 com a terceira equação:
çã

Passo 6

Agora temos o sistema simplificado com as Equações 4 e 6:
4a + c = 13 16a + 7c = 55
Vamos resolver para c = 13 - 4a e 16a + 7(13 - 4a) = 55 16a + 91 - 28a = 55 -12a + 91 = 55 -12a = 55 - 91 -12a = -36 a = 3 . Da Equação 4, isolamos :
Substituímos esse valor na Equação 6:

Passo 7

Agora que temos c = 13 - 4(3) = 13 - 12 = 1 , vamos encontrar usando a expressão :

Passo 8

Pronto! Encontramos o valor de .

Resposta

O valor de é 1.

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