Seja e uma base do espaço dos polinômios de grau até 2. Denotando por as coordenadas de com relação à base , calcule o valor de .
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Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um polinômio e uma base do espaço dos polinômios de grau até 2. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de em relação a essa base e, especificamente, calcular o valor de .
Para isso, vamos precisar entender como expressar como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar coeficientes , e tais que:

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão do lado direito:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos igualar os coeficientes de com os da combinação linear que acabamos de obter. Ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e . Nosso foco é encontrar , mas para isso, precisamos resolver as três equações.
Primeiro, vamos somar as duas primeiras equações para eliminar :
çã

Passo 5

Agora, vamos multiplicar a segunda equação por 5 para facilitar a eliminação de :
çã
Em seguida, vamos somar a Equação 5 com a terceira equação:
çã

Passo 6

Agora temos o sistema simplificado com as Equações 4 e 6:
Vamos resolver para e . Da Equação 4, isolamos :
Substituímos esse valor na Equação 6:

Passo 7

Agora que temos , vamos encontrar usando a expressão :

Passo 8

Pronto! Encontramos o valor de .

Resposta

O valor de é 1.

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Seja e uma base do espaço dos polinômios de grau até 2. Denotando por as coordenadas de com relação à base , calcule o valor de .
(D) 3
Em cada caso, determine se é subespaço de . Justifique.
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