O conjunto dos (x1, x2, x3, x4) in R^4 tais que 7 x2+x4=2 pode ser representado por:
(G) [r-2 3 -3 9]+span[r0 1 0 -7],[l0 0 6 0],[l7 0 0 0]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar todos os vetores no espaço que satisfazem a equação . Estamos trabalhando com espaços vetoriais e sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar expressar a solução dessa equação em termos de vetores, identificando um vetor particular e os vetores que formam a base do espaço solução.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação 7x2 + x4 = 2 7x2 = 2 - x4 x2 = 2 - x47 para uma das variáveis. Vamos isolar :
Aqui, está expresso em termos de . As outras variáveis e não estão presentes na equação, então podemos considerá-las como livres, ou seja, podemos atribuir a elas quaisquer valores.

Passo 3

Vamos agora expressar todas as variáveis em termos de parâmetros livres. Seja:
x1 = a x3 = b x4 = c
Onde x2 = 2 - c7 , x1 x2 x3 x4 = a 2 - c7 b c e são números reais quaisquer. Substituindo na equação de , temos:
Então, o vetor solução pode ser escrito como:

[


]

Passo 4

Para expressar isso de forma vetorial, vamos separar o vetor em um vetor particular e uma combinação linear dos vetores que correspondem aos parâmetros livres a 2 - c7 b c = 0 27 0 0 + a 1 0 0 0 + b 0 0 1 0 + c 0 -17 0 1 , -2 3 -3 9 + span 0 1 0 -7 , 0 0 6 0 , 7 0 0 0 e :

[


+
a
+
b
+
c
]
Simplificando, podemos ajustar os coeficientes para que fiquem com números inteiros:

Resposta

O conjunto dos vetores [r-2 3 -3 9]+span[r0 1 0 -7],[l0 0 6 0],[l7 0 0 0] que satisfazem pode ser representado por:

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