Seja e uma base do espaço dos polinômios de grau até 2. Denotando por as coordenadas de com relação à base , calcule o valor de .
(D) 3

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem um polinômio e uma base para o espaço dos polinômios de grau até 2. Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas desse polinômio em relação à base , ou seja, descobrir os valores de , e na representação . Especificamente, a gente quer achar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa representar na base . Isso quer dizer que pode ser escrito como uma combinação linear das funções que formam a base. Ou seja:

Passo 3

Vamos expandir essa expressão para facilitar a comparação com :
Simplificando:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios dos dois lados da equação:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e . Nosso foco é encontrar , mas precisamos resolver todo o sistema.
Primeiro, da segunda equação:

Passo 6

Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 7

Substituímos e na terceira equação:
Agora, substituímos :

Passo 8

Com , encontramos :

Passo 9

Pronto! Descobrimos que o valor de é 1.

Resposta

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Seja e uma base do espaço dos polinômios de grau até 2. Denotando por as coordenadas de com relação à base , calcule o valor de .
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Em cada caso, determine se é subespaço de . Justifique.
e é o plano definido pela equação .
Em cada caso, determine se é subespaço de . Justifique.
e é o conjunto dos números complexos com parte real igual à parte imaginária.
Em cada caso, determine se é subespaço de . Justifique.
e é o conjunto dos polinômios com alguma raiz inteira.