Seja e uma base do espaço dos polinômios de grau até 2. Denotando por as coordenadas de com relação à base , calcule o valor de .
(D) 3
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem um polinômio e uma base para o espaço dos polinômios de grau até 2. Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas desse polinômio em relação à base , ou seja, descobrir os valores de , e na representação . Especificamente, a gente quer achar o valor de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa representar na base . Isso quer dizer que pode ser escrito como uma combinação linear das funções que formam a base. Ou seja:
Passo 3
Vamos expandir essa expressão para facilitar a comparação com :
Simplificando:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios dos dois lados da equação:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de 2a + b + 2c = 5 Rightarrow b = 5 - 2a - 2c , e . Nosso foco é encontrar , mas precisamos resolver todo o sistema.
Primeiro, da segunda equação:
Passo 6
Agora, substituímos 2a - (5 - 2a - 2c) - c = 8 2a - 5 + 2a + 2c - c = 8 4a + c = 13 Rightarrow c = 13 - 4a na primeira equação: