Seja p(x)=8+5 x+30 x^2 e barbeta=2+2 x+6 x^2, -1+x-5 x^2, -1+2 x-3 x^2 uma base do espaço dos polinômios de grau até 2. Denotando por [p]beta=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base beta, calcule o valor de c.
(D) 3

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem um polinômio e uma base para o espaço dos polinômios de grau até 2. Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas desse polinômio em relação à base , ou seja, descobrir os valores de , e na representação . Especificamente, a gente quer achar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa representar p(x) = a cdot (2 + 2x + 6x^2) + b cdot (-1 + x - 5x^2) + c cdot (-1 + 2x - 3x^2) na base . Isso quer dizer que pode ser escrito como uma combinação linear das funções que formam a base. Ou seja:

Passo 3

Vamos expandir essa expressão para facilitar a comparação com 8 + 5x + 30x^2 = a(2) + a(2x) + a(6x^2) + b(-1) + b(x) + b(-5x^2) + c(-1) + c(2x) + c(-3x^2) :
8 + 5x + 30x^2 = (2a - b - c) + (2a + b + 2c)x + (6a - 5b - 3c)x^2
Simplificando:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios dos dois lados da equação:
2a - b - c = 8 2a + b + 2c = 5 6a - 5b - 3c = 30

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de 2a + b + 2c = 5 Rightarrow b = 5 - 2a - 2c , e . Nosso foco é encontrar , mas precisamos resolver todo o sistema.
Primeiro, da segunda equação:

Passo 6

Agora, substituímos 2a - (5 - 2a - 2c) - c = 8 2a - 5 + 2a + 2c - c = 8 4a + c = 13 Rightarrow c = 13 - 4a na primeira equação:

Passo 7

Substituímos 6a - 5(5 - 2a - 2c) - 3c = 30 6a - 25 + 10a + 10c - 3c = 30 16a + 7c = 55 e 16a + 7(13 - 4a) = 55 16a + 91 - 28a = 55 -12a = -36 a = 3 na terceira equação:
Agora, substituímos :

Passo 8

Com c = 13 - 4(3) = 13 - 12 = 1 , encontramos :

Passo 9

Pronto! Descobrimos que o valor de é 1.

Resposta

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