Em cada caso, determine se é subespaço de . Justifique.
e é o conjunto dos polinômios com alguma raiz inteira.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais. E temos um subconjunto que é formado pelos polinômios que possuem pelo menos uma raiz inteira, ou seja, que têm algum número inteiro que, quando substituído na variável , faz o polinômio dar zero. Nosso objetivo é descobrir se é realmente um subespaço de . Para isso, vamos verificar algumas propriedades fundamentais dos subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, para ser um subespaço de , ele precisa conter o vetor zero. No caso dos polinômios, o vetor zero é o polinômio que é igual a zero para todo . Esse polinômio tem todas as raízes possíveis, inclusive as inteiras, então ele pertence a . Então, a primeira condição está satisfeita!

Passo 3

Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Isso significa que se você pegar dois polinômios em e somar eles, o resultado também deve estar em . Vamos pensar nisso: suponha que temos dois polinômios, e , cada um tendo pelo menos uma raiz inteira. Pode acontecer de a soma não ter nenhuma raiz inteira? Sim! Por exemplo, se (que tem raiz em 0) e (que tem raiz em 1), a soma seria . A raiz desse polinômio é , que não é um número inteiro. Portanto, a soma de dois polinômios de pode não estar em .

Passo 4

Além disso, mesmo se a soma funcionasse, também precisaríamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegar um polinômio em e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deveria estar em . Mas, por exemplo, se multiplicarmos por , obteremos , que ainda tem raiz inteira em 0. Nesse caso específico, funciona, mas não garante que sempre vai funcionar para qualquer polinômio e qualquer escalar.

Resposta

Então, como vimos, a soma de dois polinômios em nem sempre pertence a , o que faz com que não seja fechado sob adição. Portanto, não é um subespaço de .

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Em cada caso, determine se é subespaço de . Justifique.
e é o conjunto dos números complexos com parte real igual à parte imaginária.
Seja e uma base do espaço dos polinômios de grau até 2. Denotando por as coordenadas de com relação à base , calcule o valor de .
(D) 3
O conjunto dos tais que pode ser representado por:
(G)
Calcule o determinante da matriz
Dica: Use algoritmo de cálculo do determinante via escalonamento.
(A) -23
(B) -18
© -20
(D) -24
(E) -21
(F) -19
(G) -25
(H) -22
(I) Não sei