Em cada caso, determine se
é subespaço de
. Justifique.
e
é o conjunto dos polinômios com alguma raiz inteira.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais. E temos um subconjunto
que é formado pelos polinômios que possuem pelo menos uma raiz inteira, ou seja, que têm algum número inteiro que, quando substituído na variável
, faz o polinômio dar zero. Nosso objetivo é descobrir se
é realmente um subespaço de
. Para isso, vamos verificar algumas propriedades fundamentais dos subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, para
ser um subespaço de
, ele precisa conter o vetor zero. No caso dos polinômios, o vetor zero é o polinômio que é igual a zero para todo
. Esse polinômio tem todas as raízes possíveis, inclusive as inteiras, então ele pertence a
. Então, a primeira condição está satisfeita!
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Isso significa que se você pegar dois polinômios em
e somar eles, o resultado também deve estar em
. Vamos pensar nisso: suponha que temos dois polinômios,
e
, cada um tendo pelo menos uma raiz inteira. Pode acontecer de a soma
não ter nenhuma raiz inteira? Sim! Por exemplo, se
(que tem raiz em 0) e
(que tem raiz em 1), a soma seria
. A raiz desse polinômio é
, que não é um número inteiro. Portanto, a soma de dois polinômios de
pode não estar em
.
Passo 4
Além disso, mesmo se a soma funcionasse, também precisaríamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegar um polinômio em
e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deveria estar em
. Mas, por exemplo, se multiplicarmos
por
, obteremos
, que ainda tem raiz inteira em 0. Nesse caso específico, funciona, mas não garante que sempre vai funcionar para qualquer polinômio e qualquer escalar.
Resposta
Então, como vimos, a soma de dois polinômios em
nem sempre pertence a
, o que faz com que
não seja fechado sob adição. Portanto,
não é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, determine se
é subespaço de
. Justifique.
e
é o conjunto dos números complexos com parte real igual à parte imaginária.
Seja
e
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2. Denotando por
as coordenadas de
com relação à base
, calcule o valor de
.
(D) 3
(D) 3
O conjunto dos
tais que
pode ser representado por:
(G)
(G)
Calcule o determinante da matriz
Dica: Use algoritmo de cálculo do determinante via escalonamento.
(A) -23
(B) -18
© -20
(D) -24
(E) -21
(F) -19
(G) -25
(H) -22
(I) Não sei
(A) -23
(B) -18
© -20
(D) -24
(E) -21
(F) -19
(G) -25
(H) -22
(I) Não sei