Determine a dimensão de
.
(B) 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente determinar a dimensão do espaço gerado pelos vetores que estão na span, ou seja, queremos saber quantas direções diferentes esses vetores realmente trazem. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de espaços vetoriais e dimensões. Para resolver, vamos precisar usar métodos de matriz, como a redução por escalonamento.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores como colunas de uma matriz. Isso facilita aplicar as operações de linha para descobrir quantos vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos transformar essa matriz em forma escalonada usando operações de linha. O objetivo é ter o máximo de 1s e 0s na matriz para identificar as linhas que realmente contribuem para a dimensão.
Primeiro, mantemos o primeiro elemento da primeira coluna como está (que já é 1) e vamos zerar os elementos abaixo dele.

Passo 4

Para zerar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Após essas operações, a matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento da segunda linha e segunda coluna seja 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por -1:
A matriz fica:

Passo 6

Em seguida, vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna:
  • Linha 1:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 7

Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Queremos que o elemento da terceira linha e terceira coluna seja 1. Como temos -3, vamos multiplicar a terceira linha por :
A matriz fica:

Passo 8

Em seguida, vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na terceira coluna:
  • Linha 1:
  • Linha 2:
  • Linha 4:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 9

Agora, a matriz está em forma escalonada reduzida, e podemos contar quantas colunas possuem um pivô (os 1s principais). Nesse caso, temos 3 pivôs, o que significa que temos 3 vetores linearmente independentes.

Resposta

A dimensão do é 3.

Exercícios relacionados

Em cada caso, determine se é subespaço de . Justifique.
e é o conjunto das funções que se anulam em algum ponto.
Determine a dimensão de
.
(D) 3
Seja um espaço vetorial de dimensão 4. Considere as afirmativas abaixo:
I - Nenhum subconjunto de com 3 vetores gera .
II - Todo conjunto gerador de com 4 vetores é uma base de .
III - Todo subconjunto de com 5 vetores é LD.
Em cada caso, determine se é subespaço de . Justifique.
e é o conjunto dos polinômios cuja soma dos coeficientes é zero.