Seja um espaço vetorial de dimensão 4. Considere as afirmativas abaixo:
I - Nenhum subconjunto de com 3 vetores gera .
II - Todo conjunto gerador de com 4 vetores é uma base de .
III - Todo subconjunto de com 5 vetores é LD.
Passo 1
Então, a gente tem um espaço vetorial que tem dimensão 4. Isso significa que qualquer base de tem exatamente 4 vetores. O exercício traz três afirmações sobre conjuntos de vetores nesse espaço e quer saber se elas são verdadeiras ou não. Vamos precisar entender conceitos como conjunto gerador, base e dependência linear para resolver isso.
Passo 2
Vamos analisar a primeira afirmação:
I - Nenhum subconjunto de com 3 vetores gera .
Como tem dimensão 4, para que um conjunto de vetores gere , ele precisa ter pelo menos 4 vetores que sejam linearmente independentes. Se a gente tiver só 3 vetores, mesmo que eles sejam independentes, não vão conseguir “preencher” o espaço de dimensão 4. Portanto, nenhum conjunto com 3 vetores pode gerar .
Passo 3
Agora, a segunda afirmação:
II - Todo conjunto gerador de com 4 vetores é uma base de .
Sabendo que tem dimensão 4, qualquer conjunto de 4 vetores que gera necessariamente é uma base, porque além de gerar o espaço, como têm exatamente 4 vetores, eles também são linearmente independentes. Isso vem do fato de que o número de vetores em um conjunto gerador igual à dimensão implica que o conjunto é uma base.
Passo 4
Por fim, a terceira afirmação:
III - Todo subconjunto de com 5 vetores é LD.
Esse resultado vem do Teorema da Dimensão, que diz que em um espaço vetorial de dimensão , qualquer conjunto com mais de vetores é linearmente dependente. Como tem dimensão 4, qualquer conjunto com 5 vetores vai ser dependente.