Em cada caso, determine se
é subespaço de
. Justifique.
e
é o plano definido pela equação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto
, definido pelo plano
em
, é um subespaço de
. Para resolver isso, precisamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Basicamente, para
ser um subespaço de
, ele precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores em
e somar, o resultado também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor em
por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em
. Substituindo
,
, e
na equação do plano:
Então,
Isso mostra que o vetor zero está, sim, em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Ou seja, se tomarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Vamos somar as equações para
e
:
Somando ambas:
Isso significa que
também satisfaz a equação do plano
, portanto
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos qualquer vetor
em
por um escalar
, o vetor resultante
também deve estar em
.
Vamos multiplicar a equação do plano por
:
Portanto,
também satisfaz a equação de
, mostrando que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim,
é um subespaço de
porque contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar.