Em cada caso, determine se W é subespaço de V. Justifique.
V=R^3 e W é o plano definido pela equação 2 x-3 y+5 z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto , definido pelo plano em , é um subespaço de . Para resolver isso, precisamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Basicamente, para ser um subespaço de , ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores em e somar, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor em por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em 2(0) - 3(0) + 5(0) = 0 . Substituindo 0 = 0 , , e na equação do plano:
Então,
Isso mostra que o vetor zero está, sim, em .

Passo 3

Agora, vamos ver se 2x1 - 3y1 + 5z1 = 0 é fechado sob adição. Ou seja, se tomarmos dois vetores quaisquer 2x2 - 3y2 + 5z2 = 0 e 2(x1 + x2) - 3(y1 + y2) + 5(z1 + z2) = 0 + 0 = 0 em , a soma também deve estar em .
Vamos somar as equações para e :
Somando ambas:
Isso significa que também satisfaz a equação do plano , portanto é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se 2(kx) - 3(ky) + 5(kz) = k(2x - 3y + 5z) = k cdot 0 = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos qualquer vetor em por um escalar , o vetor resultante também deve estar em .
Vamos multiplicar a equação do plano por :
Portanto, também satisfaz a equação de , mostrando que é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, é um subespaço de porque contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

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