Em cada caso, determine se é subespaço de . Justifique.
e é o plano definido pela equação .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto , definido pelo plano em , é um subespaço de . Para resolver isso, precisamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Basicamente, para ser um subespaço de , ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores em e somar, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor em por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em . Substituindo , , e na equação do plano:
Então,
Isso mostra que o vetor zero está, sim, em .

Passo 3

Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Ou seja, se tomarmos dois vetores quaisquer e em , a soma também deve estar em .
Vamos somar as equações para e :
Somando ambas:
Isso significa que também satisfaz a equação do plano , portanto é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos qualquer vetor em por um escalar , o vetor resultante também deve estar em .
Vamos multiplicar a equação do plano por :
Portanto, também satisfaz a equação de , mostrando que é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, é um subespaço de porque contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados

Em cada caso, determine se é subespaço de . Justifique.
e é o conjunto dos polinômios cuja soma dos coeficientes é zero.
Seja um espaço vetorial de dimensão 4. Considere as afirmativas abaixo:
I - Nenhum subconjunto de com 3 vetores gera .
II - Todo conjunto gerador de com 4 vetores é uma base de .
III - Todo subconjunto de com 5 vetores é LD.
Seja e uma base do espaço dos polinômios de grau até 2. Denotando por as coordenadas de com relação à base , calcule o valor de .
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Seja e uma base do espaço dos polinômios de grau até 2. Denotando por as coordenadas de com relação à base , calcule o valor de .
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