Em cada caso, determine se
é subespaço de
. Justifique.
e
é o conjunto dos polinômios cuja soma dos coeficientes é zero.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com subespaços vetoriais. Temos o conjunto
, que representa todos os polinômios com coeficientes reais. O subconjunto
é formado pelos polinômios cuja soma dos coeficientes é zero. Nosso objetivo é determinar se
é um subespaço de
.
Passo 2
Para verificar se
é um subespaço de
, precisamos conferir três propriedades fundamentais:
- Contém o vetor zero: O vetor zero (no caso, o polinômio zero) deve estar em
. - Fechado sob adição: A soma de quaisquer dois polinômios em
também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: O produto de qualquer polinômio em
por um escalar real também deve estar em .
Vamos analisar cada uma dessas propriedades.
Passo 3
1. Verificando se
contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço
é o polinômio
, que pode ser escrito como
para qualquer grau
. A soma dos coeficientes de
é obviamente zero. Portanto,
.
2. Verificando a fechamento sob adição:
Vamos considerar dois polinômios quaisquer
e
em
. Isso significa que:
Quando somamos
, a soma dos coeficientes resultantes será:
Portanto,
também pertence a
.
3. Verificando a fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio
em
e um escalar real
. A soma dos coeficientes de
é zero. Ao multiplicar
por
, cada coeficiente é multiplicado por
, e a soma dos coeficientes resultantes será:
Assim,
também pertence a
.
Resposta
Como
satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar), podemos concluir que
é, de fato, um subespaço de
.