Em cada caso, determine se W é subespaço de V. Justifique.
V=R[X] e W é o conjunto dos polinômios cuja soma dos coeficientes é zero.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com subespaços vetoriais. Temos o conjunto , que representa todos os polinômios com coeficientes reais. O subconjunto é formado pelos polinômios cuja soma dos coeficientes é zero. Nosso objetivo é determinar se é um subespaço de .

Passo 2

Para verificar se é um subespaço de , precisamos conferir três propriedades fundamentais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero (no caso, o polinômio zero) deve estar em .
  2. Fechado sob adição: A soma de quaisquer dois polinômios em também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: O produto de qualquer polinômio em por um escalar real também deve estar em .
Vamos analisar cada uma dessas propriedades.

Passo 3

1. Verificando se soma dos coeficientes de p(X) = 0 contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço soma dos coeficientes de q(X) = 0 é o polinômio 0 + 0 = 0 , que pode ser escrito como c times 0 = 0 para qualquer grau . A soma dos coeficientes de é obviamente zero. Portanto, .
2. Verificando a fechamento sob adição:
Vamos considerar dois polinômios quaisquer e em . Isso significa que:
Quando somamos , a soma dos coeficientes resultantes será:
Portanto, também pertence a .
3. Verificando a fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio em e um escalar real . A soma dos coeficientes de é zero. Ao multiplicar por , cada coeficiente é multiplicado por , e a soma dos coeficientes resultantes será:
Assim, também pertence a .

Resposta

Como satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar), podemos concluir que é, de fato, um subespaço de .

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