Em cada caso, determine se é subespaço de . Justifique. e é o conjunto dos polinômios cuja soma dos coeficientes é zero.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com subespaços vetoriais. Temos o conjunto , que representa todos os polinômios com coeficientes reais. O subconjunto é formado pelos polinômios cuja soma dos coeficientes é zero. Nosso objetivo é determinar se é um subespaço de .
Passo 2
Para verificar se é um subespaço de , precisamos conferir três propriedades fundamentais:
Contém o vetor zero: O vetor zero (no caso, o polinômio zero) deve estar em .
Fechado sob adição: A soma de quaisquer dois polinômios em também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: O produto de qualquer polinômio em por um escalar real também deve estar em .
Vamos analisar cada uma dessas propriedades.
Passo 3
1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço é o polinômio , que pode ser escrito como para qualquer grau . A soma dos coeficientes de é obviamente zero. Portanto, .
2. Verificando a fechamento sob adição:
Vamos considerar dois polinômios quaisquer e em . Isso significa que:
Quando somamos , a soma dos coeficientes resultantes será:
Portanto, também pertence a .
3. Verificando a fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio em e um escalar real . A soma dos coeficientes de é zero. Ao multiplicar por , cada coeficiente é multiplicado por , e a soma dos coeficientes resultantes será:
Assim, também pertence a .
Resposta
Como satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar), podemos concluir que é, de fato, um subespaço de .