Em cada caso, encontre uma equação que relacione a, b e c para que o sistema linear seja possível.
A seguir, dê condições, caso existam, para que o sistema seja um SPD, SPI ou SI.
2 x+2 y+3 z=a
3 x-y+5 z=b

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de duas equações lineares com três variáveis: , e . Queremos encontrar uma relação entre , e para que esse sistema seja possível. Além disso, vamos verificar as condições para que o sistema seja SPD (Sistema Possível e Determinado), SPI (Sistema Possível e Indeterminado) ou SI (Sistema Impossível).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas equações do sistema:
2x + 2y + 3z = a 3x - y + 5z = b

Passo 3

Como temos duas equações e três variáveis, geralmente o sistema terá infinitas soluções, a menos que haja alguma contradição. Para garantir que o sistema seja possível, precisamos que as duas equações sejam compatíveis.

Passo 4

Para verificar a compatibilidade, podemos usar o método de escalonamento ou calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Vamos montar a matriz dos coeficientes:
2 & 2 & 3 3 & -1 & 5

Passo 5

Como temos mais variáveis do que equações, o sistema sempre terá pelo menos uma variável livre. Isso significa que o sistema sempre será possível (SPI), a menos que as equações sejam inconsistentes.

Passo 6

Agora, vamos comparar as proporções dos coeficientes para ver se há alguma condição específica para e . Se as razões dos coeficientes de , e forem iguais, o sistema seria SPD.

Passo 7

Calculando as razões:
23 = 2-1 = 35
Como essas razões não são iguais, o sistema não é SPD. Portanto, o sistema é sempre SPI.

Passo 8

Em resumo, para que o sistema seja possível, não há restrições específicas para e além de não criar uma contradição. E o sistema será sempre SPI, pois sempre haverá uma solução com infinitas possibilidades.

Resposta

A relação que garante que o sistema seja possível é que as equações não sejam proporcionais, o que ocorre para qualquer valor de e que não satisfaça . Além disso, o sistema é sempre um Sistema Possível e Indeterminado (SPI).

Exercícios relacionados

Em cada caso, encontre todos os valores de k, se houver, para os quais o sistema linear tenha
(i) nenhuma solução, (ii) uma única solução ou (iii) infinitas soluções.
x+z=k^2
2 x+y+3 z=-3 k
3 x+y+4 z=-2
Em cada caso, encontre todos os valores de k, se houver, para os quais o sistema linear tenha
(i) nenhuma solução, (ii) uma única solução ou (iii) infinitas soluções.
x+y+k z=1
x+k y+z=1
k x+y+z=-2
Determine, sem efetuar nenhum cálculo, se o sistema linear com a matriz ampliada dada, tem uma única solução (SPD), infinitas soluções (SPI) ou nenhuma solução (SI). Justifique suas respostas.
(llll|l1 & 2 & 3 & 4 & 5 5 & 4 & 3 & 2 & 1 6 & 6 & 6 & 6 & 6)
Encontre todos os valores de k para os quais o sistema linear homogêneo a seguir tenha soluções não triviais.
(1-k) x +z & =0 -k y+z & =0 y-k z & =0