Em cada caso, encontre todos os valores de k, se houver, para os quais o sistema linear tenha
(i) nenhuma solução, (ii) uma única solução ou (iii) infinitas soluções.
x+z=k^2
2 x+y+3 z=-3 k
3 x+y+4 z=-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações lineares com três incógnitas: , e . A tarefa é descobrir para quais valores de esse sistema tem:
  1. Nenhuma solução;
  2. Uma única solução;
  3. Infinitas soluções.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e análise de sistemas lineares. Vamos precisar manipular as equações e entender como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
x + z = k^2 (Equação 1) 2x + y + 3z = -3k (Equação 2) 3x + y + 4z = -2 (Equação 3) çãçãçã
Para verificar se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. A matriz dos coeficientes é:
1 & 0 & 1 2 & 1 & 3 3 & 1 & 4
O determinante ( D = 1 cdot (1 cdot 4 - 3 cdot 1) - 0 cdot (2 cdot 4 - 3 cdot 3) + 1 cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 3) ) dessa matriz é calculado assim:
D = 1 cdot (4 - 3) - 0 cdot (8 - 9) + 1 cdot (2 - 3)
D = 1 cdot 1 - 0 cdot (-1) + 1 cdot (-1) = 1 + 0 - 1 = 0
Como o determinante é zero ( ), isso indica que o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo das condições do sistema. Não teremos uma solução única.

Passo 3

Como o determinante deu zero, vamos verificar se o sistema é consistente (tem soluções) ou inconsistente (não tem solução). Para isso, vamos manipular as equações para encontrar uma relação entre elas.
Primeiro, da Equação 1:
z = k^2 - x
Substituímos 2x + y + 3(k^2 - x) = -3k nas Equações 2 e 3:
Na Equação 2:
2x + y + 3k^2 - 3x = -3k
(-x) + y = -3k - 3k^2 (Equação 2')
3x + y + 4(k^2 - x) = -2 çã
Na Equação 3:
3x + y + 4k^2 - 4x = -2
(-x) + y = -2 - 4k^2 (Equação 3')
-y + x = 3k + 3k^2 (da Equação 2') -y + x = 2 + 4k^2 (da Equação 3') çã
Agora, temos duas equações para -3k - 3k^2 = -2 - 4k^2 :
-3k - 3k^2 + 4k^2 + 2 = 0 çãçã
Para que o sistema seja consistente, essas duas expressões devem ser iguais:
k^2 - 3k + 2 = 0
Resolvendo essa equação para k = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12 :
k = 2 ou k = 1
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver:

Resposta

  • Nenhuma solução quando e .
  • Infinitas soluções quando ou .
  • Uma única solução: Nunca ocorre para esse sistema.

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