Em cada caso, encontre todos os valores de , se houver, para os quais o sistema linear tenha
(i) nenhuma solução, (ii) uma única solução ou (iii) infinitas soluções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações lineares com três incógnitas: , e . A tarefa é descobrir para quais valores de esse sistema tem:
Nenhuma solução;
Uma única solução;
Infinitas soluções.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e análise de sistemas lineares. Vamos precisar manipular as equações e entender como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
Para verificar se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. A matriz dos coeficientes é:
1 & 0 & 1 2 & 1 & 3 3 & 1 & 4
O determinante ( D = 1 cdot (1 cdot 4 - 3 cdot 1) - 0 cdot (2 cdot 4 - 3 cdot 3) + 1 cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 3) ) dessa matriz é calculado assim:
Como o determinante é zero (), isso indica que o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo das condições do sistema. Não teremos uma solução única.
Passo 3
Como o determinante deu zero, vamos verificar se o sistema é consistente (tem soluções) ou inconsistente (não tem solução). Para isso, vamos manipular as equações para encontrar uma relação entre elas.
Primeiro, da Equação 1:
z = k^2 - x
Substituímos 2x + y + 3(k^2 - x) = -3k nas Equações 2 e 3: