Em cada caso, encontre todos os valores de k, se houver, para os quais o sistema linear tenha
(i) nenhuma solução, (ii) uma única solução ou (iii) infinitas soluções.
x+y+k z=1
x+k y+z=1
k x+y+z=-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares. Temos três equações com três incógnitas ( x, y, z) e um parâmetro k. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de k o sistema:
x + y + k z = 1 x + k y + z = 1 k x + y + z = -2
tem (i) nenhuma solução, (ii) uma única solução ou (iii) infinitas soluções. Para isso, vamos usar o método de determinantes e analisar o sistema usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial A x = b, onde A é a matriz dos coeficientes, x é o vetor das incógnitas e b é o vetor dos termos independentes:
A = 1 & 1 & k 1 & k & 1 k & 1 & 1 , x = x y z , b = 1 1 -2

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes A, que nos ajudará a determinar se o sistema tem uma única solução ou infinitas/não tem solução. O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31))
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 1(k cdot 1 - 1 cdot 1) - 1(1 cdot 1 - 1 cdot k) + k(1 cdot 1 - k cdot k)
Simplificando:
det(A) = 1(k - 1) - 1(1 - k) + k(1 - k^2) = (k - 1) - (1 - k) + k(1 - k^2)
det(A) = k - 1 - 1 + k + k - k^3 = 3k - 2 - k^3
Ou seja:
det(A) = -k^3 + 3k - 2

Passo 4

Agora, vamos resolver det(A) = 0 para encontrar os valores críticos de k:
-k^3 + 3k - 2 = 0 Rightarrow k^3 - 3k + 2 = 0
Vamos fatorar o polinômio:
k^3 - 3k + 2 = (k - 1)(k^2 + k - 2) = (k - 1)(k + 2)(k - 1) = (k - 1)^2(k + 2)
Portanto, as soluções são k = 1 (multiplicidade 2) e k = -2.

Passo 5

Vamos analisar cada caso:
  1. Quando det(A) neq 0: O sistema tem uma única solução.
  2. Quando det(A) = 0: Precisamos verificar se os sistemas são consistentes ou não para determinar se há infinitas soluções ou nenhuma solução.
Vamos avaliar para k = 1 e k = -2 separadamente.

Passo 6

Caso 1: k neq 1 e k neq -2
Aqui, det(A) neq 0, então o sistema tem uma única solução.
Caso 2: k = 1
Substituindo k = 1 nas equações:
x + y + z = 1 x + y + z = 1 x + y + z = -2
As duas primeiras equações são iguais e a terceira é diferente, o que é impossível. Portanto, não há solução.
Caso 3: k = -2
Substituindo k = -2 nas equações:
x + y -2 z = 1 x -2 y + z = 1 -2x + y + z = -2
Vamos resolver esse sistema:
Primeiro, da primeira equação:
x = 1 - y + 2z
Substituindo x na segunda e terceira equações:
1 - y + 2z - 2y + z = 1 Rightarrow 1 - 3y + 3z = 1 Rightarrow -3y + 3z = 0 Rightarrow y = z
E na terceira equação:
-2(1 - y + 2z) + y + z = -2 Rightarrow -2 + 2y -4z + y + z = -2 Rightarrow 3y -3z = 0 Rightarrow y = z
Assim, temos que y = z e x = 1 - y + 2y = 1 + y. Isso significa que há infinitas soluções parametrizadas por y (ou z).

Resposta

  • Para todo k neq 1 e k neq -2, o sistema tem uma única solução.
  • Para k = 1, o sistema não possui solução.
  • Para k = -2, o sistema possui infinitas soluções.

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x-2 y+z+w=8
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4 x+y=7
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Em cada caso, encontre todos os valores de k, se houver, para os quais o sistema linear tenha
(i) nenhuma solução, (ii) uma única solução ou (iii) infinitas soluções.
x+z=k^2
2 x+y+3 z=-3 k
3 x+y+4 z=-2
Em cada caso, encontre uma equação que relacione a, b e c para que o sistema linear seja possível.
A seguir, dê condições, caso existam, para que o sistema seja um SPD, SPI ou SI.
2 x+2 y+3 z=a
3 x-y+5 z=b