Encontre todos os valores de para os quais o sistema linear homogêneo a seguir tenha soluções não triviais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear homogêneo juntos! O enunciado pede para encontrar todos os valores de para os quais o sistema tem soluções não triviais (ou seja, soluções diferentes de zero).
Estamos trabalhando com um sistema de equações lineares, que envolve variáveis , e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz. Quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero, o sistema tem soluções não triviais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema. Olhando para as equações:
A matriz dos coeficientes fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . Se o determinante for igual a zero, isso indica que o sistema tem soluções não triviais.
O determinante de uma matriz A = a & b & c d & e & f g & h & i = 1 - k & 0 & 1 0 & -k & 1 0 & 1 & -k pode ser calculado da seguinte forma: