Encontre todos os valores de k para os quais o sistema linear homogêneo a seguir tenha soluções não triviais.
(1-k) x +z & =0 -k y+z & =0 y-k z & =0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear homogêneo juntos! O enunciado pede para encontrar todos os valores de para os quais o sistema tem soluções não triviais (ou seja, soluções diferentes de zero).
Estamos trabalhando com um sistema de equações lineares, que envolve variáveis , e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz. Quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero, o sistema tem soluções não triviais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema. Olhando para as equações:
(1 - k)x + z &= 0 -ky + z &= 0 y - kz &= 0
A matriz dos coeficientes fica:
A = 1 - k & 0 & 1 0 & -k & 1 0 & 1 & -k

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . Se o determinante for igual a zero, isso indica que o sistema tem soluções não triviais.
O determinante de uma matriz A = a & b & c d & e & f g & h & i = 1 - k & 0 & 1 0 & -k & 1 0 & 1 & -k pode ser calculado da seguinte forma:
det(A) = (1 - k)[(-k)(-k) - (1)(1)] - 0 [] + 1 [0(1) - (-k)(0)]
Para a nossa matriz:
Aplicando a fórmula:

Passo 4

Simplificando os cálculos:
Primeiro termo:
(1 - k)[k^2 - 1]
Segundo termo:
-0 times (qualquer coisa) = 0
Terceiro termo:
1 [0 - 0] = 0
Então, o determinante fica:
det(A) = (1 - k)(k^2 - 1)

Passo 5

Vamos expandir a expressão:
det(A) = (1 - k)(k^2 - 1) = (1 - k)(k - 1)(k + 1) = (1 - k)^2 (k + 1)

Passo 6

Para que o determinante seja zero:
(1 - k)^2 (k + 1) = 0
Isso ocorre quando:
1 - k = 0 ou k + 1 = 0

Passo 7

Resolvendo as equações:

Resposta

Os valores de que fazem o sistema ter soluções não triviais são e .

Exercícios relacionados

Determine, sem efetuar nenhum cálculo, se o sistema linear com a matriz ampliada dada, tem uma única solução (SPD), infinitas soluções (SPI) ou nenhuma solução (SI). Justifique suas respostas.
(llll|l1 & 2 & 3 & 4 & 5 5 & 4 & 3 & 2 & 1 6 & 6 & 6 & 6 & 6)
Em cada caso, encontre uma equação que relacione a, b e c para que o sistema linear seja possível.
A seguir, dê condições, caso existam, para que o sistema seja um SPD, SPI ou SI.
2 x+2 y+3 z=a
3 x-y+5 z=b
Classifique o sistema, suas incógnitas e encontre o seu conjunto solução.
x+2 y-3 z=0
2 x-y+z=0
4 x-y+z=4
Classifique o sistema, suas incógnitas e encontre o seu conjunto solução.
12 x+y-z-6 w=2
16 x+12 y -3 w+v=-1
13 x -2 z -4 v=8