Determine, sem efetuar nenhum cálculo, se o sistema linear com a matriz ampliada dada, tem uma única solução (SPD), infinitas soluções (SPI) ou nenhuma solução (SI). Justifique suas respostas.
(llll|l1 & 2 & 3 & 4 & 5 5 & 4 & 3 & 2 & 1 6 & 6 & 6 & 6 & 6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um sistema linear representado por uma matriz aumentada. O conteúdo aqui é de Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas de equações lineares. Para resolver isso, precisamos entender como determinar se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução sem precisar calcular tudo.
(llll|l 1 & 2 & 3 & 4 & 5 5 & 4 & 3 & 2 & 1 6 & 6 & 6 & 6 & 6 )

Passo 2

Primeiro, vamos contar quantas equações e incógnitas temos. Aqui, são 3 equações e 4 incógnitas. Normalmente, quando temos mais incógnitas do que equações, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução. Mas para saber exatamente, precisamos analisar se as equações estão de acordo umas com as outras.

Passo 3

Agora, vamos observar se alguma das linhas da matriz é uma combinação linear das outras. Olhando bem, a terceira linha parece ser a soma das duas primeiras:
(1 + 5 = 6), (2 + 4 = 6), (3 + 3 = 6), (4 + 2 = 6), (5 + 1 = 6)
Isso significa que a terceira equação não traz nenhuma informação nova, ela é apenas uma repetição das primeiras duas.

Passo 4

Como a terceira equação é dependente das duas primeiras, na verdade, temos apenas 2 equações independentes para 4 incógnitas. Isso indica que temos mais graus de liberdade para escolher valores das incógnitas, o que leva a infinitas soluções.

Resposta

Então, o sistema apresenta infinitas soluções (SPI) porque as equações são dependentes e há mais incógnitas do que equações independentes.

Exercícios relacionados

Em cada caso, encontre uma equação que relacione a, b e c para que o sistema linear seja possível.
A seguir, dê condições, caso existam, para que o sistema seja um SPD, SPI ou SI.
2 x+2 y+3 z=a
3 x-y+5 z=b
Em cada caso, encontre todos os valores de k, se houver, para os quais o sistema linear tenha
(i) nenhuma solução, (ii) uma única solução ou (iii) infinitas soluções.
x+z=k^2
2 x+y+3 z=-3 k
3 x+y+4 z=-2
Encontre todos os valores de k para os quais o sistema linear homogêneo a seguir tenha soluções não triviais.
(1-k) x +z & =0 -k y+z & =0 y-k z & =0
Classifique o sistema, suas incógnitas e encontre o seu conjunto solução.
x+2 y-3 z=0
2 x-y+z=0
4 x-y+z=4