Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função em torno do ponto indicado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrarmos a expansão de Taylor da função em torno do ponto . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente das séries de Taylor. Para resolver, vamos precisar lembrar como construir a série de Taylor e calcular as derivadas da função no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da série de Taylor para uma função em torno de um ponto :
Isso significa que para achar a expansão de Taylor, precisamos calcular as derivadas de no ponto .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:
  • Quarta derivada:
Perceba que as derivadas de se repetem a cada quatro passos.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  • Valor da função:
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:
  • Quarta derivada:

Passo 5

Agora, vamos montar a série de Taylor usando esses valores:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A expansão de Taylor da função em torno de é:

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Em cada caso, use uma série de potências adequada e aproxime a integral com duas casas decimais.
Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função em torno do ponto indicado.
Use a regra da cadeia (Caso 2) para determinar e :
em .