Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função
em torno do ponto indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrarmos a expansão de Taylor da função
em torno do ponto
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente das séries de Taylor. Para resolver, vamos precisar lembrar como construir a série de Taylor e calcular as derivadas da função
no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da série de Taylor para uma função
em torno de um ponto
:
Isso significa que para achar a expansão de Taylor, precisamos calcular as derivadas de
no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
Perceba que as derivadas de
se repetem a cada quatro passos.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
- Valor da função:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
Passo 5
Agora, vamos montar a série de Taylor usando esses valores:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A expansão de Taylor da função
em torno de
é:
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Em cada caso, use uma série de potências adequada e aproxime a integral com duas casas decimais.
Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função
em torno do ponto indicado.
Use a regra da cadeia (Caso 2) para determinar
e
:
em
.