Encontre as funções (a)
, (b)
, ©
e (d)
e seus domínios.
36.
36.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre composição de funções, que é um conceito fundamental em matemática. As funções dadas são:
Vamos precisar entender como combinar essas funções de diferentes maneiras para formar
,
,
e
, além de descobrir os domínios de cada uma dessas composições.
Passo 2
Primeiro, vamos falar rapidinho sobre composição de funções. Quando a gente compõe duas funções, tipo
, isso significa que a gente vai primeiro aplicar a função
e depois aplicar a função
no resultado. Matematicamente,
.
Passo 3
Vamos começar com a composição
.
Aqui, substituímos
na função
:
Agora, precisamos determinar o domínio dessa função. O domínio de
são todos os valores de
onde
está dentro do domínio de
.
Como
, o denominador não pode ser zero:
Sabemos que
varia entre -1 e 1, então:
O único valor que causa problema é quando
, ou seja, onde
.
Então, o domínio de
é todos os
reais exceto aqueles onde
.
Passo 4
Agora, vamos para a composição
.
Substituímos
na função
:
Para o domínio, precisamos que
esteja dentro do domínio de
. Como
está definido para todos os números reais, o único restrição vem do domínio de
.
Então, o domínio de
é todos os
reais exceto
.
Passo 5
Vamos para a composição
.
Substituímos
na função
:
Simplificando o denominador:
Então:
Para o domínio, devemos garantir que
esteja no domínio de
. Já vimos que
está definido para
, e também precisamos que
:
Resolvendo:
Isso implica que
e
, então
e
.
Portanto, o domínio de
é todos os
reais exceto
e
.
Passo 6
Por fim, vamos para a composição
.
Substituímos
na função
:
Como
está definido para todos os números reais e a função seno está definida para todos os números reais, não temos restrições no domínio.
Então, o domínio de
é todos os
reais.
Resposta
(a)
, domínio:
exceto onde
.
(b)
, domínio:
exceto
.
©
, domínio:
exceto
e
.
(d)
, domínio: todos os números reais.