Encontre as funções (a) f(g), (b) g(f), © f o f e (d) g(g) e seus domínios.
36. f(x) = x / (1 + x), g(x) = sen(2x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre composição de funções, que é um conceito fundamental em matemática. As funções dadas são:
Vamos precisar entender como combinar essas funções de diferentes maneiras para formar , , e , além de descobrir os domínios de cada uma dessas composições.

Passo 2

Primeiro, vamos falar rapidinho sobre composição de funções. Quando a gente compõe duas funções, tipo , isso significa que a gente vai primeiro aplicar a função e depois aplicar a função no resultado. Matematicamente, .

Passo 3

Vamos começar com a composição .
Aqui, substituímos na função :
Agora, precisamos determinar o domínio dessa função. O domínio de são todos os valores de onde está dentro do domínio de .
Como , o denominador não pode ser zero:
Sabemos que varia entre -1 e 1, então:
varia entre 0 e 2.
O único valor que causa problema é quando , ou seja, onde .
Então, o domínio de é todos os reais exceto aqueles onde .

Passo 4

Agora, vamos para a composição .
Substituímos na função :
Para o domínio, precisamos que esteja dentro do domínio de . Como está definido para todos os números reais, o único restrição vem do domínio de .
tem domínio definido para todos os onde , ou seja, .
Então, o domínio de é todos os reais exceto .

Passo 5

Vamos para a composição .
Substituímos na função :
Simplificando o denominador:
Então:
Para o domínio, devemos garantir que esteja no domínio de . Já vimos que está definido para , e também precisamos que :
Resolvendo:
Isso implica que e , então e .
Portanto, o domínio de é todos os reais exceto e .

Passo 6

Por fim, vamos para a composição .
Substituímos na função :
Como está definido para todos os números reais e a função seno está definida para todos os números reais, não temos restrições no domínio.
Então, o domínio de é todos os reais.

Resposta

(a) , domínio: exceto onde .
(b) , domínio: exceto .
© , domínio: exceto e .
(d) , domínio: todos os números reais.

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