Em cada caso, use uma série de potências adequada e aproxime a integral com duas casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente precisa calcular a integral de de 0 até . Para resolver isso, vamos usar uma série de potências, que é uma maneira de expressar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de . Vamos precisar entender como expandir a função em uma série e depois integrar termo a termo para chegar na resposta aproximada desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a expansão em série. Sabemos que:
Isso se assemelha à forma de uma série geométrica, que é:
No nosso caso, , então podemos escrever:

Passo 3

Agora que temos a função escrita como uma série de potências, podemos integrar termo a termo no intervalo de 0 a . A integral fica assim:
Integrando cada termo separadamente:

Passo 4

Vamos calcular cada termo da série até que os termos adicionais tornem-se insignificantes para a precisão de duas casas decimais. Vamos avaliar cada parte em :
Vamos calcular os primeiros termos:
Os termos a partir do terceiro são tão pequenos que não afetam as duas casas decimais da soma. Portanto, podemos considerar apenas os dois primeiros termos para nossa aproximação.

Passo 5

Somando os termos calculados:
Arredondando para duas casas decimais:

Resposta

O valor aproximado da integral é 0,33.

Exercícios relacionados

Use regra da cadeia (Caso 1) para determinar no ponto dado:
, em .
Questão (valor 3.5)
Calcule os seguintes limites, caso existam:
Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função em torno do ponto indicado.