Represente as seguintes funções em séries de potências de :

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para representar a função em séries de potências de . Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e propriedades das funções exponenciais. Precisaremos entender como expandir uma função exponencial em uma série de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da série de potências. Podemos separar o assim:
Isso é útil porque agora temos um fator constante (3) multiplicando .

Passo 3

Agora, precisamos expressar como uma série de potências. Sabemos que qualquer função exponencial pode ser escrita usando a constante de Euler . Então, usamos a propriedade:
Aqui, é o logaritmo natural de 3. Isso nos permite usar a expansão em série de Taylor para a função exponencial.

Passo 4

A série de Taylor para é dada por:
No nosso caso, . Então, substituindo na série, temos:

Passo 5

Voltando à nossa função original, lembramos que:
Substituindo a série que encontramos para , temos:

Passo 6

Podemos simplificar essa expressão trazendo o 3 para dentro da soma:
Isso nos dá a série de potências de em termos de .

Resposta

A série de potências de em torno de é:

Exercícios relacionados

Em cada caso, use uma série de potências adequada e aproxime a integral com duas casas decimais.
Prove, usando o teorema acima, que a função dada é contínua no ponto dado.
a) em
Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função em torno do ponto indicado.