Represente as seguintes funções em séries de potências de
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para representar a função
em séries de potências de
. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e propriedades das funções exponenciais. Precisaremos entender como expandir uma função exponencial em uma série de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a aplicação da série de potências. Podemos separar o
assim:
Isso é útil porque agora temos um fator constante (3) multiplicando
.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
como uma série de potências. Sabemos que qualquer função exponencial pode ser escrita usando a constante de Euler
. Então, usamos a propriedade:
Aqui,
é o logaritmo natural de 3. Isso nos permite usar a expansão em série de Taylor para a função exponencial.
Passo 4
A série de Taylor para
é dada por:
No nosso caso,
. Então, substituindo na série, temos:
Passo 5
Voltando à nossa função original, lembramos que:
Substituindo a série que encontramos para
, temos:
Passo 6
Podemos simplificar essa expressão trazendo o 3 para dentro da soma:
Isso nos dá a série de potências de
em termos de
.
Resposta
A série de potências de
em torno de
é:
Exercícios relacionados
Em cada caso, use uma série de potências adequada e aproxime a integral com duas casas decimais.
Prove, usando o teorema acima, que a função dada é contínua no ponto dado.
a) em
a)
Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função
em torno do ponto indicado.