Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função em torno do ponto indicado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expansão de Taylor da função em torno do ponto . A expansão de Taylor é uma maneira de aproximar funções usando polinômios, o que pode facilitar análises e cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a expansão de Taylor. Ela permite aproximar uma função em torno de um ponto usando uma soma infinita de termos que envolvem as derivadas de avaliadas em . A fórmula geral é:
Vamos calcular as derivadas necessárias de e avaliar elas em .

Passo 3

Primeira, calculamos :
Agora, a primeira derivada de :
Avaliando em :

Passo 4

Vamos para a segunda derivada:
Avaliando em :

Passo 5

Agora, a terceira derivada:
Avaliando em :

Passo 6

Com essas derivadas, podemos montar a expansão de Taylor até o termo de terceira ordem:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:

Resposta

A expansão de Taylor da função em torno de é:

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Determine as constantes e , de modo que:
Calcule os seguintes limites:
6. Ache de modo que sejam contínuas as funções:
a) se