Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função
em torno do ponto indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expansão de Taylor da função
em torno do ponto
. A expansão de Taylor é uma maneira de aproximar funções usando polinômios, o que pode facilitar análises e cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a expansão de Taylor. Ela permite aproximar uma função
em torno de um ponto
usando uma soma infinita de termos que envolvem as derivadas de
avaliadas em
. A fórmula geral é:
Vamos calcular as derivadas necessárias de
e avaliar elas em
.
Passo 3
Primeira, calculamos
:
Agora, a primeira derivada de
:
Avaliando em
:
Passo 4
Vamos para a segunda derivada:
Avaliando em
:
Passo 5
Agora, a terceira derivada:
Avaliando em
:
Passo 6
Com essas derivadas, podemos montar a expansão de Taylor até o termo de terceira ordem:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:
Resposta
A expansão de Taylor da função
em torno de
é:
Exercícios relacionados
Determine as constantes
e
, de modo que:
Calcule os seguintes limites:
6. Ache de modo que sejam contínuas as funções:
a) se
6. Ache
a)