Calcule os seguintes limites:
6. Ache de modo que sejam contínuas as funções:
a) se

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos encontrar o valor de para que a função seja contínua em . Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e cálculo de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser contínua em um ponto, o limite da função quando se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos que:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2. A função para é dada por:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão . Notamos que é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte forma:
Substituindo na função:

Passo 5

Agora, podemos cancelar o termo no numerador e denominador (desde que ):

Passo 6

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 2:

Passo 7

Para a função ser contínua em , o limite calculado deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Portanto:

Resposta

O valor de que torna a função contínua é .

Exercícios relacionados

Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função em torno do ponto indicado.