Calcule os seguintes limites:
6. Ache
de modo que sejam contínuas as funções:
a)
se
6. Ache
a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos encontrar o valor de
para que a função seja contínua em
. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e cálculo de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser contínua em um ponto, o limite da função quando
se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos que:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2. A função para
é dada por:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão
. Notamos que
é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte forma:
Substituindo na função:
Passo 5
Agora, podemos cancelar o termo
no numerador e denominador (desde que
):
Passo 6
Vamos calcular o limite quando
se aproxima de 2:
Passo 7
Para a função ser contínua em
, o limite calculado deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Portanto:
Resposta
O valor de
que torna a função contínua é
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função
em torno do ponto indicado.