integral d t9 t^4+t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral d t9 t^4+t^2. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com frações racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 9t^4 + t^2. Podemos tirar um t^2 em evidência:
9t^4 + t^2 = t^2(9t^2 + 1)
Então, a integral fica:
integral d tt^2(9t^2 + 1)

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em partes menores usando frações parciais. Queremos escrever:
1t^2(9t^2 + 1) = At^2 + B9t^2 + 1
Multiplicamos ambos os lados por t^2(9t^2 + 1) para eliminar os denominadores:
1 = A(9t^2 + 1) + B t^2

Passo 4

Vamos resolver para A e B. Expandindo a equação:
1 = 9A t^2 + A + B t^2
Agrupando os termos semelhantes:
1 = (9A + B)t^2 + A
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo t, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos:
9A + B = 0
A = 1
Substituindo A = 1 na primeira equação:
9(1) + B = 0 Rightarrow B = -9

Passo 5

Agora que encontramos A e B, substituímos de volta na decomposição:
1t^2(9t^2 + 1) = 1t^2 - 99t^2 + 1
Então, a integral original pode ser escrita como:
integral 1t^2 d t - 9 integral 19t^2 + 1 d t

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente. A primeira integral é:
integral 1t^2 d t = -1t + C1
Para a segunda integral, fazemos uma substituição. Seja u = 3t, então du = 3 dt ou dt = du3. Substituindo:
integral 19t^2 + 1 d t = integral 1u^2 + 1 cdot du3 = 13 tan^-1(u) + C2 = 13 tan^-1(3t) + C2

Passo 7

Juntando tudo:
-1t - 9 cdot 13 tan^-1(3t) + C
Simplificando:
-1t - 3 tan^-1(3t) + C

Resposta

A integral de d t9 t^4+t^2 é:
-1t - 3 tan^-1(3t) + C

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