Então, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar o ortogonal de um subespaço dentro do espaço das matrizes , chamado . Além disso, precisamos calcular as dimensões de e de seu ortogonal . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços, bases e produtos internos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o ortogonal de , denotado por . Em álgebra linear, o ortogonal de um subespaço consiste em todos os vetores (neste caso, matrizes) que são “perpendiculares” a todos os vetores em em relação ao produto interno definido. Aqui, o produto interno é dado por , onde representa a soma dos elementos da diagonal principal da matriz.
Passo 3
Vamos listar as matrizes que pertencem a :
Para facilitar os cálculos, vamos considerar que é gerado pelas três matrizes dadas, ou seja, é o span dessas matrizes.
Passo 4
Para encontrar , queremos todas as matrizes em tais que para todo em . Isso significa que:
Vamos escrever como:
E calcular para cada em .
Passo 5
Vamos calcular para cada em :
Para :
Para :
Para :
Passo 6
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar as condições que devem satisfazer.
Passo 7
Subtraindo a segunda equação da terceira:
(a + b + d) - (a + b) = d = 0
Já sabemos que .
Da segunda equação, implica que .
Da primeira equação, implica que .
Passo 8
Então, todas as matrizes em A = a & -a -a & 0 têm a forma:
Primeiro, observamos que é gerado por três matrizes. Vamos verificar se elas são linearmente independentes.
Considere a combinação linear:
Isso leva ao sistema:
Da quarta equação, . Substituindo na terceira, . E da segunda, . Portanto, as matrizes são linearmente independentes, e .
Passo 10
No espaço dim(U) + dim(U^perp) = dim(M2 times 2) = 4 , a dimensão total é 4 (já que uma matriz dim(U^perp) = 4 - 3 = 1 tem 4 elementos independentes). Sabemos que:
Como , então:
Resposta
O ortogonal de 1 & -1 -1 & 0 é . A dimensão de é 3 e a dimensão de é 1.