Em cada caso encontre U^perp e calcule a dim(U) e dim(U^perp).
U=[ll1 & 1 0 & 0],[ll1 & 0 1 & 0],[ll1 & 0 1 & 1] e m M2 times 2 comlang<= X, Yrang<==tr(X Y^top).

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar o ortogonal de um subespaço dentro do espaço das matrizes , chamado . Além disso, precisamos calcular as dimensões de e de seu ortogonal . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços, bases e produtos internos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o ortogonal de , denotado por . Em álgebra linear, o ortogonal de um subespaço consiste em todos os vetores (neste caso, matrizes) que são “perpendiculares” a todos os vetores em em relação ao produto interno definido. Aqui, o produto interno é dado por , onde representa a soma dos elementos da diagonal principal da matriz.

Passo 3

Vamos listar as matrizes que pertencem a U = 1 & 1 0 & 0, 1 & 0 1 & 0, 1 & 0 1 & 1 :
Para facilitar os cálculos, vamos considerar que é gerado pelas três matrizes dadas, ou seja, é o span dessas matrizes.

Passo 4

Para encontrar tr(A B^top) = 0 para todas as B in U , queremos todas as matrizes A = a & b c & d em tais que para todo em . Isso significa que:
Vamos escrever como:
E calcular para cada em .

Passo 5

Vamos calcular para cada 1 & 1 0 & 0 em B1^top = 1 & 0 1 & 0, tr(A B1^top) = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1 + d cdot 0 = a + c = 0 :
  1. Para 1 & 0 1 & 0:
B2^top = 1 & 1 0 & 0, tr(A B2^top) = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 + d cdot 0 = a + b = 0
  1. Para 1 & 0 1 & 1:
B3^top = 1 & 1 0 & 1, tr(A B3^top) = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 + d cdot 1 = a + b + d = 0
  1. Para :

Passo 6

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
a + c = 0 a + b = 0 a + b + d = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar as condições que devem satisfazer.

Passo 7

Subtraindo a segunda equação da terceira:
(a + b + d) - (a + b) = d = 0
Já sabemos que .
Da segunda equação, implica que .
Da primeira equação, implica que .

Passo 8

Então, todas as matrizes em A = a & -a -a & 0 têm a forma:
A = a 1 & -1 -1 & 0
onde 1 & -1 -1 & 0 é um número real arbitrário.
Podemos fatorar :
Isso mostra que é gerado pela matriz .

Passo 9

Agora, vamos calcular as dimensões de k1 1 & 1 0 & 0 + k2 1 & 0 1 & 0 + k3 1 & 0 1 & 1 = 0 & 0 0 & 0 e k1 + k2 + k3 = 0 k1 = 0 k2 + k3 = 0 k3 = 0 .
Primeiro, observamos que é gerado por três matrizes. Vamos verificar se elas são linearmente independentes.
Considere a combinação linear:
Isso leva ao sistema:
Da quarta equação, . Substituindo na terceira, . E da segunda, . Portanto, as matrizes são linearmente independentes, e .

Passo 10

No espaço dim(U) + dim(U^perp) = dim(M2 times 2) = 4 , a dimensão total é 4 (já que uma matriz dim(U^perp) = 4 - 3 = 1 tem 4 elementos independentes). Sabemos que:
Como , então:

Resposta

O ortogonal de 1 & -1 -1 & 0 é . A dimensão de é 3 e a dimensão de é 1.

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