Determine a matriz da forma bilinear B: V times V na base alpha subset V indicada e escreva B na sua forma matricial: B: R^3 times R^3 R, B((x1, y1, z1),(x2, y2, z2))=x1 x2-2 x1 z2+3 y1 y2-z1 z2, alpha=(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a matriz de uma forma bilinear B((x1, y1, z1), (x2, y2, z2)) = x1x2 - 2x1z2 + 3y1y2 - z1z2 na base . A forma bilinear dada é:
Pra resolver isso, vamos precisar entender como representar formas bilineares em matrizes usando uma base específica.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que uma forma bilinear pode ser representada por uma matriz B(u, v) = u^T M v tal que:
Onde e são vetores na base . Então, nossa missão é encontrar essa matriz na base .

Passo 3

Vamos chamar os vetores da base de , e . Precisamos calcular para todos os de 1 a 3, pois esses valores vão preencher a matriz .

Passo 4

Vamos calcular cada entrada da matriz:
  1. (porque é bilinear e simétrica)

Passo 5

Agora, organizamos esses valores na matriz M = 1 & 1 & -1 1 & 4 & 2 -1 & 2 & 1 . Como é simétrica ( ), a matriz será simétrica:

Resposta

A matriz da forma bilinear 1 & 1 & -1 1 & 4 & 2 -1 & 2 & 1 na base é:

Exercícios relacionados

Sejax}=(1,-2,1,6) em R^4, e seja
U=[(2,1,3-4),(1,2,0,1)].
Mostre que (1,0,2,-3),(4,7,1,2) é outro base ortogonal de U.
Determine a matriz da forma bilinear B: V times V na base alpha subset V indicada e escreva B na sua forma matricial: B: R^2 times R^2 R, B((x1, y1),(x2, y2))=-x1 x2+x2 y1-3 y1 y2, alpha=(1,1),(0,1);
Em cada caso encontre U^perp e calcule a dim(U) e dim(U^perp).
U=[ll1 & 1 0 & 0],[ll1 & 0 1 & 0],[ll1 & 0 1 & 1] e m M2 times 2 comlang<= X, Yrang<==tr(X Y^top).
Sejam x e y vetores linearmente independentes em R^2. Se |x|=2 e|y|=3, o que, se for o caso, podemos concluir sobre os valores possíveis de |x^top y| ?