Determine a matriz da forma bilinear
na base
indicada e escreva
na sua forma matricial:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a matriz de uma forma bilinear
na base
. A forma bilinear dada é:
Pra resolver isso, vamos precisar entender como representar formas bilineares em matrizes usando uma base específica.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que uma forma bilinear pode ser representada por uma matriz
tal que:
Onde
e
são vetores na base
. Então, nossa missão é encontrar essa matriz
na base
.
Passo 3
Vamos chamar os vetores da base
de
,
e
. Precisamos calcular
para todos os
de 1 a 3, pois esses valores vão preencher a matriz
.
Passo 4
Vamos calcular cada entrada da matriz:
-
-
-
-
(porque é bilinear e simétrica) -
-
-
-
-
Passo 5
Agora, organizamos esses valores na matriz
. Como
é simétrica (
), a matriz será simétrica:
Resposta
A matriz da forma bilinear
1 & 1 & -1 1 & 4 & 2 -1 & 2 & 1 na base
é:
Exercícios relacionados
Sejax}=(1,-2,1,6) em
R^4 , e seja
U=[(2,1,3-4),(1,2,0,1)] .
Mostre que(1,0,2,-3),(4,7,1,2) é outro base ortogonal de
U .
Mostre que
Determine a matriz da forma bilinear
B: V times V na base
alpha subset V indicada e escreva
B na sua forma matricial:
B: R^2 times R^2 R, B((x1, y1),(x2, y2))=-x1 x2+x2 y1-3 y1 y2, alpha=(1,1),(0,1) ;
Em cada caso encontre
U^perp e calcule a
dim(U) e
dim(U^perp) .
U=[ll1 & 1 0 & 0],[ll1 & 0 1 & 0],[ll1 & 0 1 & 1] e m M2 times 2 comlang<= X, Yrang<==tr(X Y^top) .
Sejam x e y vetores linearmente independentes em
R^2 . Se
|x|=2 e|y|=3 , o que, se for o caso, podemos concluir sobre os valores possíveis de
|x^top y| ?